Chủ đề này có 5 trả lời

[phatthemkem]

Cho $x,y,z \geq 0$ và $x+y+z=1$. Chứng minh rằng $\dfrac{z-xy}{x^2+xy+y^2}+\dfrac{y-zx}{x^2+xz+z^2}+\dfrac{x-yz}{y^2+yz+z^2}\geq 2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phatthemkem: 25-09-2015 - 21:30

[longatk08]

Bất đẳng thức này suy ra từ 2 bài toán quen thuộc sau:

 

1.(Vasile Cirtoaje)

 

$\frac{1}{a^2+ab+b^2}+\frac{1}{b^2+bc+c^2}+\frac{1}{c^2+ca+a^2}\geq \frac{9}{(a+b+c)^2}$

 

2.( Darij Grinberg)

 

$\frac{c(a+b)}{a^2+ab+b^2}+\frac{a(b+c)}{b^2+bc+c^2}+\frac{b(c+a)}{c^2+ac+a^2} \geq 2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi longatk08: 26-09-2015 - 15:47

[phatthemkem]

Bất đẳng thức này suy ra từ 2 bài toán quen thuộc sau:

 

1.(Vasile Cirtoaje)

 

$\frac{1}{a^2+ab+b^2}+\frac{1}{b^2+bc+c^2}+\frac{1}{c^2+ca+a^2}\geq \frac{9}{(a+b+c)^2}$

 

2.( Darij Grinberg)

 

$\frac{c(a+b)}{a^2+ab+b^2}+\frac{a(b+c)}{b^2+bc+c^2}+\frac{b(c+a)}{c^2+ac+a^2} \geq 2$

 

Rất hay!     Hai BĐT trên có thể chứng minh bằng $C-B-S$, do vậy ta hoàn toàn mở rộng được BĐT đã cho ở trên kia với bộ $n$ số dương. Cảm ơn bạn!

[longatk08]

Rất hay!     Hai BĐT trên có thể chứng minh bằng $C-B-S$, do vậy ta hoàn toàn mở rộng được BĐT đã cho ở trên kia với bộ $n$ số dương. Cảm ơn bạn!

BĐT đầu tiên thì là hệ quả trực tiếp của Iran 96 nhưng BĐT thứ 2 còn có 1 cách chứng minh khác ngoài C-S là phân li đẳng thức

[phatthemkem]

BĐT đầu tiên thì là hệ quả trực tiếp của Iran 96 nhưng BĐT thứ 2 còn có 1 cách chứng minh khác ngoài C-S là phân li đẳng thức

Quả thật mình dốt BĐT, phân li BĐT nghe lạ quá, bạn có thể cho mình biết chút ít lý thuyết về nó được hay không.  

[longatk08]

Quả thật mình dốt BĐT, phân li BĐT nghe lạ quá, bạn có thể cho mình biết chút ít lý thuyết về nó được hay không.  

Quả thực thì phương pháp này không có lí thuyết gì cả mà chỉ là một hướng làm khi bạn gặp những bất đẳng thức có 2 dấu bằng tại tâm và cả tại biên.

 

Ví dụ bài toán của Darij Grinberg. Đối với những bài toán kiểu này thì dấu bằng tại biên là do đại lượng $abc$ gây ra nên ta thường cố gắng tách riêng đại lượng này ra và đánh giá phần còn lại theo các BĐT cổ điển.Ví dụ đơn giản nhất là bài toán sau( bài đầu tiên và ở cuối)

http://diendantoanho...15-2016/page-18