Chủ đề này có 3 trả lời

[RoyalShipper]

Cho x,y,x là ba số thực thoả mãn :

$x^{2} + y^{2}+z^{2} = 2$

xy+yz+zx = 1 

Tìm GTLN,GTNN của x 

[royal1534]

Ta có $(x+y+z)^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}+2(xy+yz+zx)=2+2=4$

$\rightarrow x+y+z=2$

$\rightarrow y+z=2-x$

Từ gt ta có $y^{2}+z^{2}=2-x^{2}$

Áp dụng bđt $2(y^{2}+z^{2}) \geq (y+z)^{2}$

$                 \Leftrightarrow 4-2x^{2} \geq (2-x)^{2}$

$                  \Leftrightarrow 4-2x^{2} \geq 4-4x+x^{2} $

$                  \Leftrightarrow 0 \geq 3x^{2}-4x$

$                  \Leftrightarrow  0 \geq x(3x-4)$

$ \Leftrightarrow  0 \leq x \leq \frac{3}{4}$

OK.!

[RoyalShipper]

x+y+z = -2 thì sao 

Còn không thì tui biết làm cách này từ lâu 

 

Ta có $(x+y+z)^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}+2(xy+yz+zx)=2+2=4$

$\rightarrow x+y+z=2$

$\rightarrow y+z=2-x$

Từ gt ta có $y^{2}+z^{2}=2-x^{2}$

Áp dụng bđt $2(y^{2}+z^{2}) \geq (y+z)^{2}$

$                 \Leftrightarrow 4-2x^{2} \geq (2-x)^{2}$

$                  \Leftrightarrow 4-2x^{2} \geq 4-4x+x^{2} $

$                  \Leftrightarrow 0 \geq 3x^{2}-4x$

$                  \Leftrightarrow  0 \geq x(3x-4)$

$ \Leftrightarrow  0 \leq x \leq \frac{3}{4}$

OK.!

[QDV]

Đặt A=$x^{2}+y^{2}+z^{2}$,B=$xy+yz+zx$

Từ ĐK baì toán suy ra

A+2B=$(x+y+z)^{2}=4\Rightarrow \left | x+y+z \right |=2$ (1)

A-2B=$(x-(y*z))^{2}-4yz=0 (2),(y-(z*x))^{2}-4zx=0 ,(z-(x*y))^{2}-4xy=0$

Vậy x,y,z cùng dấu

Từ(2)$\Rightarrow \left | x \right |-\left | y+z \right |\leq \left | x-(y+z) \right |\leq \left | y+z \right |$

$\Rightarrow 3\left | x \right |\leq 2\left | x \right |+2\left | y+z \right |\leq 2\left | x+y+z \right |\leq 4$

$\Rightarrow \left | x \right |\leq \frac{4}{3}$

Vậy $x_{max}= \frac{4}{3} khi y=z=\frac{1}{3}

x_{min}= -\frac{4}{3} khi y=z=-\frac{1}{3}$