Bài toán (Chọn đội dự tuyển Đồng Nai 2015-2016)
Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho $(n^2+11n-4)n!+33.13^n+4$ là số chính phương.
Tìm số nguyên dương $n$ sao cho $(n^2+11n-4)n!+33.13^n+4$ là số chính phương
Bắt đầu bởi Juliel, 26-09-2015 - 21:11
#1
Đã gửi 26-09-2015 - 21:11
Juliel
-
- Thành viên
-
- 1240 Bài viết
Thượng úy
- Zaraki, rainbow99, Huy Thong và 1 người khác yêu thích
Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
Welcome to My Facebook !
#2
Đã gửi 27-09-2015 - 06:46
Zaraki
-
- Phó Quản lý Toán Cao cấp
-
- 4273 Bài viết
PQT
Lời giải. Nếu $n \ge 6$ thì $7 \left | (n^2+11n-4)n! \right.$. Khi đó ta suy ra $33 \cdot 13^n+4 \equiv 0,1,2,4 \pmod{7}$ suy ra $(-2) \cdot (-1)^n \equiv 3,4,5,0 \pmod{7}$. Từ đây dẫn đến $2|n$.
Cũng vì $n \ge 6$ nên $8 \left | (n^2+11n-4)n! \right.$. Do đó $33 \cdot 13^n+4 \equiv 1 \pmod{8}$ suy ra $13^n \equiv 5 \pmod{8}$ suy ra $5^n \equiv 5 \pmod{8}$ hay $5^{n-1} \equiv 1 \pmod{8}$.Vì $2 \nmid n-1$ nên $2^2 \| 5^{n-1}-1$, mâu thuẫn. Vậy $n \le 5$.
Thử và ta tìm được $n \in \{ 1,2 \}$.
- Juliel, dogsteven, nhungvienkimcuong và 1 người khác yêu thích
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
