Chủ đề này có 3 trả lời

[MRTYPN2000]

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Trên cung nhỏ $AC$ lấy điểm $M$ bất kì. Từ $M$ hạt $MD \bot AC$ và $ME \bot BC$. Gọi $K$ là trung điểm $DE$, $N$ là trung điểm $AB$. Chứng minh rằng $KM \bot KN$.

[Dung Du Duong]

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Trên cung nhỏ $AC$ lấy điểm $M$ bất kì. Từ $M$ hạt $MD \bot AC$ và $ME \bot BC$. Gọi $K$ là trung điểm $DE$, $N$ là trung điểm $AB$. Chứng minh rằng $KM \bot KN$.

Bạn tự vẽ hình hộ mình nhé  mình cx nói ngắn gọn hoi 

Dễ thấy DE là đường thẳng Simpson của M với tam giác ABC

Gọi MF $\bot$ AB ==> E,F,D thẳng hàng

==> CM: tứ giác MFNK nội tiếp

<==> góc FNM=FKM

<==> tam giác MAN đồng dạng MDK  <==> tam giác MAB đồng dạng MDE <==> góc MAB=MDE và góc MBA=FEM (hiển nhiên đúng)

==> đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dung Du Duong: 27-09-2015 - 09:42

[minhrongcon2000]

Gọi F là giao điểm của AB và DE. Dễ thấy, DE là đường thẳng Simson của M đối với $\Delta ABC$ nên MF vuông góc với AB

Suy ra MFBE nội tiếp $\Rightarrow \angle MED=\angle ABM (1)$ 

Mặt khác, ta cũng có MDEC nội tiếp nên ta có $\angle DME=\angle ACB=\angle AMB (2)$

Từ $(1)$ và $(2)$, ta có được $\Delta MAB\sim \Delta MDE \Rightarrow \frac{DE}{AB}=\frac{ME}{MB}$

Mà DE=2EK và AB=2NB

Nên$\frac{EK}{NB}=\frac{ME}{MB}$

Lại có $\angle MEK=\angle NBM (cmt)$

Nên $\Delta NBM\sim \Delta KEM \Rightarrow \angle KME=\angle BMN \Rightarrow \angle BME=\angle NMK$

Mà $\angle BME=\angle NFK$ (MFBE nội tiếp)

$\Rightarrow \angle NFK=\angle NMK$

Suy ra MFNK nội tiếp 

$\Rightarrow \widehat{MKN}+\widehat{MFN}=180 \Rightarrow \widehat{MKN}=90 \Rightarrow$ KM vuông góc với KN

[Dung Du Duong]

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Trên cung nhỏ $AC$ lấy điểm $M$ bất kì. Từ $M$ hạt $MD \bot AC$ và $ME \bot BC$. Gọi $K$ là trung điểm $DE$, $N$ là trung điểm $AB$. Chứng minh rằng $KM \bot KN$.

À mình quên chưa nhắc đến điều này: 

Ta còn có thể tổng quát hóa bài toán hơn, đó là cho K,N thuộc DE và AB nhưng có $\frac{DE}{DK}=\frac{AB}{AN}=k$ (với k thực bất kì) thì ta vẫn có KM $\bot$ KN và trường hợp của bạn ở trên là k=2   

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dung Du Duong: 05-10-2015 - 20:42