11 replies to this topic

[anhxtanh1879]

Cực trị:

1. Cho $x, y, z > 0$. Tìm GTNN: $A = \frac{1}{2}(x^{2} + y^{2} + z^{2}) + \frac{x^{2} + y^{2} + z^{2}}{xyz}$

2. CMR: $T = \frac{x}{y} + \sqrt{\frac{y}{z}} + \sqrt[3]{\frac{z}{x}} > 2$ khi $x, y, z > 0$. Xác định GTNN của T 

3. Tìm GTNN của hàm số:

$y = \sqrt{5x^{2} + 20} + \sqrt{5x^{2} - 32x + 64} + \sqrt{5x^{2} - 40x + 100} + \sqrt{5x^{2} - 8x + 16}$

4. Tìm GTNN: $T = \sqrt{a^{2} + 4} + \sqrt{a - 2ab + b^{2} + 1} + \sqrt{b^{2} - 6b + 10}$

5. Cho $a, b, c > 0$. Tìm GTNN:

$A = \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{ab + bc + ca} + \frac{8abc}{(a + b)(b + c)(c + a)}$

6. Cho $x, y, z \in \left [ 1;2 \right ]$. Tìm GTLN và GTNN của:

$P = \frac{x + y}{2 + z} + \frac{y + z}{2 + x} + \frac{z + x}{2 + y}$

7. Cho $x, y, z > 0$ thỏa mãn $xyz = 1$. Tìm GTNN:

$P = \frac{x^{2}(y + z)}{y\sqrt{y} + 2z\sqrt{z}} + \frac{y^{2}(z + x)}{z\sqrt{z} + 2x\sqrt{x}} + \frac{z^{2}(x + y)}{x\sqrt{x} + 2y\sqrt{y}}$

8. Cho $a, b, c > 0$. Tìm GTNN:

$Q = \frac{a^{3}}{(1 - a)^{2}} + \frac{b^{3}}{(1 - b)^{2}} + \frac{c^{3}}{(1 - c)^{2}} với a + b + c = 1$

9. Cho $x, y > 0$ thỏa mãn $x + y \leq 6$. Tìm GTLN và GTNN của:

$C = x^{2}y(4 - x - y)$

10. Cho $x > 0$. Tìm GTNN: $y = x + \frac{11}{2x} + \sqrt{4(1 + \frac{7}{x^{2}})}$

11. Cho $x, y \geq 0$. Tìm GTLN và GTNN: $P = \frac{(x - y)(1 - xy)}{(1 + x)^{2}(1 + y)^{2}}$

12. Cho $x, y, z > 0$ thỏa mãn $x + y + z = 1$. Tìm GTNN:

$P = \sqrt{(x^{2} + xy + y^{2})(y^{2} + yz + z^{2})} + \sqrt{(y^{2} + yz + z^{2})(z^{2} + zx + x^{2})} + \sqrt{(z^{2} + zx + x^{2})(x^{2} + xy + y^{2})}$

13. Cho $x, y$ thỏa mãn $(x + y)^{3} + 4xy \geq 2$. Tìm GTNN:

$A = 3(x^{4} + y^{4} + x^{2}y^{2}) - 2(x^{2} + y^{2}) + 1$

14. Cho $x, y \geq 0$ thỏa mãn $x + y = 1$. Tìm GTNN và GTLN:

$S = (4x^{2} + 3y)(4y^{2} + 3x) + 25y$

15. Cho $x, y$ thỏa mãn $x - 3\sqrt{x + 1} = 3\sqrt{y + 2} - y$. Tìm GTLN và GTNN: $P = x + y$

16. Cho $x, y, z \in \left [ -1;1 \right ]$ và $x + y + z = 0$. Tìm GTNN:

$S = \sqrt{1 + x + y^{2}} + \sqrt{1 + y + z^{2}} + \sqrt{1 + z + x^{2}}$

 

Bất đẳng thức:

17. Cho $a, b, c > 0$ thỏa mãn $a + b + c = 3$. CMR:

$\frac{a^{2}}{a + 2b^{2}} + \frac{b^{2}}{b + 2c^{2}} + \frac{c^{2}}{c + 2a^{2}} \geq 1$

18. Cho 3 số thực $a, b, c \in \left [ 0;1 \right ]$. CMR:

$3 + a^{3}b^{2} + b^{3}c^{2} + c^{3}a^{2} \geq 2(a^{3} + b^{3} + c^{3})$

19. CMR: Nếu $x, y, z > 0$ và $x(x + y + z) = 3yz$ thì:

$(x + y)^{3} + (x + z)^{3} + 3(x + y)(y + z)(z + x) \leq 5(y + z)^{3}$

20. Cho $a, b, c > 0$ thỏa mãn $abc = 1$. CMR:

$\frac{1}{1 + a + b} + \frac{1}{1 + b + c} + \frac{1}{1 + c + a} \leq \frac{1}{2 + a} + \frac{1}{2 + b} + \frac{1}{2 + c}$

21. Cho $a, b, c, d > 0$ thỏa mãn $abcd = 1$. CMR:

$\frac{1}{1 + ab + bc + ca} + \frac{1}{1 + bc + cd + db} + \frac{1}{1 + cd + da + ac} + \frac{1}{1 + da + ab + bd} \leq 1$

22. Cho $x, y, z > 0$. CMR:

$\frac{y + z}{x + \sqrt[3]{4(y^{3} + z^{3})}} + \frac{z + x}{y + \sqrt[3]{4(z^{3} + x^{3})}} + \frac{x + y}{z + \sqrt[3]{4(x^{3} + y^{3})}} \leq 2$

23. CMR: Nếu $n$ nguyên dương, $n > 1$ thì:

$\left | a^{n} + b^{n} + c^{n} + d^{n} \right | \leq (\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2}})^{n}$

24. Cho $a, b, c \geq 0$. CMR: $2(a^{2} + 1)(b^{2} + 1)(c^{2} + 1) \geq (a + 1)(b + 1)(c + 1)(abc + 1)$

25. Cho $a, b, c > 0$ thỏa mãn $a + b + c = 1$. CMR:

$\frac{11a + 9b}{9a(a + b)} + \frac{11b + 9c}{9b(b + c)} + \frac{11c + 9a}{9c(c + a)} \geq 10$

26. Cho $a, b, c > 0$ thỏa mãn $abc = 1$. CMR:

$\frac{2}{(a + 1)^{2} + b^{2} + 1} + \frac{2}{(b + 1)^{2} + c^{2} + 1} + \frac{2}{(c + 1)^{2} + a^{2} + 1} \leq 1$

27. Cho $a, b, c > 0$ thỏa mãn $a + b + c \geq abc$. CMR: $a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq \sqrt{3}abc$

 

28. Cho $a, b, c > 0$. CMR: $\sum \frac{a^{4}}{a^{4} + \sqrt[3]{(a^{6} + b^{6})(a^{3} + c^{3})^{2}}} \leq 1$

29. Cho $a, b, c > 0$ thỏa mãn $ab + bc + ca = abc$. CMR:

$\frac{a^{4} + b^{4}}{ab(a^{3} + b^{3})} + \frac{b^{4} + c^{4}}{bc(b^{3} + c^{3})} + \frac{c^{4} + a^{4}}{ca(c^{3} + a^{3})} \geq 1$

30. Cho $a, b, c > 0$ thỏa mãn $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 3$. CMR: $5(a + b + c) + \frac{3}{abc} \geq 18$

31. Cho $a, b, c \geq -1$ thỏa mãn $a + b + c = 1$. CMR:

$\frac{a}{1 + a^{2}} + \frac{b}{1 + b^{2}} + \frac{c}{1 + c^{2}} \leq \frac{9}{10}$

32. Cho $a, b, c > 0$. CMR:

$\sqrt{\frac{2a}{a + b}} + \sqrt{\frac{2b}{b + c}} + \sqrt{\frac{2c}{c + a}} \leq 3$

33. Cho $a, b, c \geq 0$. CMR:

$8(a^{2} + 1)^{3}(b^{2} + 1)^{3}(c^{2} + 1)^{3} \geq (a + 1)^{3}(b + 1)^{3}(c + 1)^{3}(a^{3} + 1)(b^{3} + 1)(c^{3} + 1)$

34. Cho $a, b, c > 0$ thỏa mãn $a + b + c = 3$. CMR:

$\frac{a}{ab + b^{3}} + \frac{b}{bc + c^{3}} + \frac{c}{ca + a^{3}} \geq \frac{3}{2}$

35. Cho $x, y, z > 0$. CMR:

$\frac{2x}{x^{6} + y^{4}} + \frac{2y}{y^{6} + z^{4}} + \frac{2z}{z^{6} + x^{4}} \leq \frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{y^{4}} + \frac{1}{z^{4}}$

Edited by anhxtanh1879, 04-10-2015 - 10:21.

[hoctrocuaHolmes]

31. Cho $a, b, c \geq -1$ thỏa mãn $a + b + c = 1$. CMR:

$\frac{a}{1 + a^{2}} + \frac{b}{1 + b^{2}} + \frac{c}{1 + c^{2}} \leq \frac{9}{10}$

32. Cho $a, b, c > 0$. CMR:

$\sqrt{\frac{2a}{a + b}} + \sqrt{\frac{2b}{b + c}} + \sqrt{\frac{2c}{c + a}} \leq 3$

34. Cho $a, b, c > 0$ thỏa mãn $a + b + c = 3$. CMR:

$\frac{a}{ab + b^{3}} + \frac{b}{bc + c^{3}} + \frac{c}{ca + a^{3}} \geq \frac{3}{2}$

35. Cho $x, y, z > 0$. CMR:

$\frac{2x}{x^{6} + y^{4}} + \frac{2y}{y^{6} + z^{4}} + \frac{2z}{z^{6} + x^{4}} \leq \frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{y^{4}} + \frac{1}{z^{4}}$

31. Ta đi cm $\frac{a}{a^{2}+1}\leq \frac{18}{25}a+\frac{3}{50}\Leftrightarrow \frac{(3a-1)^{2}(4a+3)}{50(a^{2}+1)}\geq 0\rightarrow true\Rightarrow \sum \frac{a}{a^{2}+1}\leq \frac{18}{25}(a+b+c)-\frac{9}{50}=\frac{18}{25}+\frac{9}{50}=\frac{9}{10}(đpcm)$

Dấu ''='' xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$

Spoiler

Có thể mở rộng bài toán trên tập số thực $R$

32. Áp dụng AM-GM:

$\sum\sqrt{\frac{2a}{a+b}}\leq \sum[\frac{3a(b+c)}{4(ab+bc+ca)}+\frac{2(ab+bc+ca)}{3(a+b)(b+c)}]=\frac{3}{2}+\frac{4}{3}+\frac{4abc}{3(a+b)(b+c)(c+a)}\leq \frac{3}{2}+\frac{4}{3}+\frac{4abc}{3(2\sqrt{ab})(2\sqrt{bc})(2\sqrt{ca})}=3(đpcm)$

Dấu ''='' xảy ra khi $a=b=c$

[mam1101]

Hoa mắt

26 .

(a + 1)² + b² + 1 = a² + 2a + b² + 2 $\leq$  2a + 2ab + 2

BĐT cần chứng minh tương đương với $\frac{1}{1 + a + ab} + \frac{1}{1 + b + bc} + \frac{1}{1 + c + ca} \leq 1$ với abc = 1

[mam1101]

35 . 

AM - GM x⁶ + y⁴ $\geq$ 2x³y²

BĐT cần c/m tương đương với $\frac{1}{a^{2}b^{2}} + \frac{1}{c^{2}b^{2}} + \frac{1}{a^{2}c^{2}} \leq \frac{1}{a^{4}} + \frac{1}{b^{4}} + \frac{1}{c^{4}}$

 

P/s : Bài 20 anh đánh 2 dấu $$ nên nó không hiển thị công thức toán được

Edited by mam1101, 28-09-2015 - 21:34.

[hoctrocuaHolmes]

Cực trị:

7. Cho $x, y, z > 0$ thỏa mãn $xyz = 1$. Tìm GTNN:

• $P = \frac{x^{2}(y + z)}{y\sqrt{y} + 2z\sqrt{z}} + \frac{y^{2}(z + x)}{z\sqrt{z} + 2x\sqrt{x}} + \frac{z^{2}(x + y)}{x\sqrt{x} + 2y\sqrt{y}}$

11. Cho $x, y \geq 0$. Tìm GTLN và GTNN: $P = \frac{(x - y)(1 - xy)}{(1 + x)^{2}(1 + y)^{2}}$

12. Cho $x, y, z > 0$ thỏa mãn $x + y + z = 1$. Tìm GTNN:

$P = \sqrt{(x^{2} + xy + y^{2})(y^{2} + yz + z^{2})} + \sqrt{(y^{2} + yz + z^{2})(z^{2} + zx + x^{2})} + \sqrt{(z^{2} + zx + x^{2})(x^{2} + xy + y^{2})}$

 

7.Từ gt $xyz=1$ ta có

$\sum \frac{\frac{x}{z}+\frac{x}{y}}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}\geq 2\frac{\frac{x}{\sqrt{yz}}}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}=2\frac{x\sqrt{x}}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}$

Đặt $x\sqrt{x}=a;y\sqrt{y}=b;z\sqrt{z}=c\Rightarrow 2(\sum \frac{a^{3}}{b+2c})=2(\sum \frac{a^{4}}{ab+2ac})\geq 2.\frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{3(ab+bc+ca)}\geq 2$

Dấu ''='' xảy ra khi $a=b=c$ hay $x=y=z=1$

11. Ta có bất đẳng thức phụ sau:$|(x-y)(1-xy)|\leq |(x+y)(1+xy)|$ với $x,y>0$

Áp dụng vào bt $P$ ta có $|P|\leq |\frac{(x+y)(1+xy)}{[(1+x)(1+y)]^2}|\leq |\frac{(x+y+1+xy)^2}{4.[(1+x)(1+y)]^2}|=| \frac{[(x+1)(y+1)]^2}{4.(x+1)(y+1)]^2}|=|\frac{1}{4}|$

$\Rightarrow -\frac{1}{4}\leq P \le \frac{1}{4}$

Edited by votruc, 28-09-2015 - 21:56.

[anhxtanh1879]

Cực trị:

10. Cho $x > 0$. Tìm GTNN: $y = x + \frac{11}{2x} + \sqrt{4(1 + \frac{7}{x^{2}})}$

Áp dụng bđt thức $(a^{2} + b^{2})(c^{2} + d^{2}) \geq (ac + bd)^{2}$ ta có:

$(9 + 7)(1 + \frac{7}{x^{2}}) \geq (3 + \frac{7}{x})^{2}$

$\Rightarrow y \geq x + \frac{11}{2x} + \frac{3}{2}(1 + \frac{7}{x}) = (x + \frac{9}{x}) + \frac{3}{2} \geq 6 + \frac{3}{2} = \frac{15}{2}$

Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow x = 3$

Edited by anhxtanh1879, 03-10-2015 - 13:05.

[Namthemaster1234]

Cực trị:

1. Cho $x, y, z > 0$. Tìm GTNN: $A = \frac{1}{2}(x^{2} + y^{2} + z^{2}) + \frac{x^{2} + y^{2} + z^{2}}{xyz}$

 

$\frac{x^2+y^2+z^2}{xyz} \geq \frac{9}{x+y+z} \geq \frac{9}{\sqrt{3(x^2+y^2+z^2}}$

 

$\rightarrow A \geq \frac{9}{\sqrt{3(x^2+y^2+z^2}}+\frac{1}{2}(x^2+y^2+z^2) \geq \frac{9}{2}$

 

''='' khi $x=y=z=1$

Edited by Namthemaster1234, 03-10-2015 - 23:23.

[Namthemaster1234]

Cực trị:

5. Cho $a, b, c > 0$. Tìm GTNN:

$A = \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{ab + bc + ca} + \frac{8abc}{(a + b)(b + c)(c + a)}$

 

Chuẩn hóa $a+b+c=1$

 

Ta sẽ chứng minh $min$ là 2

 

Ta có: $abc=abc(a+b+c) \leq frac{(ab+ac+bc)^2}{3}$

 

$A=\frac{(a+b+c)^2-2(ab+ac+bc)}{ab + bc + ca} + \frac{8abc}{(a + b+c)(ab+ac+bc)-abc}$

 

$\Rightarrow A \geq \frac{1-2t}{t}+\frac{8t}{t-\frac{t^2}{3}}-8$ với $t=ab+ac+bc \leq \frac{(a+b+c)^2}{3}=\frac{1}{3}$

 

Ta chỉ cần chứng minh: $\frac{1-2t}{t}+\frac{24}{3-t} \geq 10 $

 

Tương đương : $(3t-1)(4t-3) \geq 0$ (luôn đúng)

[Namthemaster1234]

Bất đẳng thức:

17. Cho $a, b, c > 0$ thỏa mãn $a + b + c = 3$. CMR:

$S=\frac{a^{2}}{a + 2b^{2}} + \frac{b^{2}}{b + 2c^{2}} + \frac{c^{2}}{c + 2a^{2}} \geq 1$

 

$S=\sum (a-\frac{2ab^2}{a+2b^2}) \geq \sum (a-\frac{2ab^2}{3\sqrt[3]{ab^4}} \geq \sum (a-\frac{2(ab)^{\frac{2}{3}}}{3}$

 

Mặt khác $(ab)^{\frac{2}{3}} \leq \frac{(\sum a^{\frac{2}{3}})^2}{3} \leq \frac{(\sum \frac{2a+1}{3})^2}{3}=3$

 

Vậy $S \geq 3- \frac{2}{3}.3=1$

 

400 ~~~~~

Edited by Namthemaster1234, 04-10-2015 - 08:06.

[anhxtanh1879]

25.

Ta có:

$\sum \frac{11a + 9b}{9a(a + b)} = \sum \frac{2a + 9a + 9b}{9a(a + b)} = \frac{2}{9}\sum \frac{1}{a + b} + \sum \frac{1}{a} \geq \frac{2}{9}. 3\sqrt[3]{\prod \frac{1}{a + b}} + 3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}} \geq \frac{2}{9}.\frac{9}{a + b + b + c + c + a} + \frac{9}{a + b + c} = 1 + 9 = 10$

Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow a = b = c = \frac{1}{3}$

Edited by anhxtanh1879, 04-10-2015 - 13:17.

[anhxtanh1879]

Chuẩn hóa $a+b+c=1$

 

Ta sẽ chứng minh $min$ là 2

 

Ta có: $abc=abc(a+b+c) \leq frac{(ab+ac+bc)^2}{3}$

 

$A=\frac{(a+b+c)^2-2(ab+ac+bc)}{ab + bc + ca} + \frac{8abc}{(a + b+c)(ab+ac+bc)-abc}$

 

$\Rightarrow A \geq \frac{1-2t}{t}+\frac{8t}{t-\frac{t^2}{3}}-8$ với $t=ab+ac+bc \leq \frac{(a+b+c)^2}{3}=\frac{1}{3}$

 

Ta chỉ cần chứng minh: $\frac{1-2t}{t}+\frac{24}{3-t} \geq 10 $

 

Tương đương : $(3t-1)(4t-3) \geq 0$ (luôn đúng)

Bạn có cách nào giải bài này mà không cần đến chuẩn hoá không???

[anhxtanh1879]

Cực trị:

2. CMR: $T = \frac{x}{y} + \sqrt{\frac{y}{z}} + \sqrt[3]{\frac{z}{x}} > 2$ khi $x, y, z > 0$. Xác định GTNN của T 

$T = \frac{x}{y} + \frac{1}{2}\sqrt{\frac{y}{z}} + \frac{1}{2}\sqrt{\frac{y}{z}} + \frac{1}{3}\sqrt[3]{\frac{z}{x}} + \frac{1}{3}\sqrt[3]{\frac{z}{x}} + \frac{1}{3}\sqrt[3]{\frac{z}{x}} \geq 6\sqrt[6]{\frac{x}{y}.\frac{y}{z}.\frac{z}{x}.\frac{1}{4}.\frac{1}{27}} = \sqrt[6]{2^{4}.3^{3}} > 2$ Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow \frac{x}{y} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{y}{z}} = \frac{1}{3}\sqrt[3]{\frac{y}{z}} ......$