Chủ đề này có 3 trả lời

[Gachdptrai12]

cho a,b,c là các số thực dương c/m

$\frac{a^{2}+2bc}{(b+c)^{2}}+\frac{b^{2}+2ac}{(a+c)^{2}}+\frac{c^{2}+2ab}{(a+b)^{2}}$$\geq$$\frac{9}{4}$

p/s thầy em kêu là dùng S.O.S dùng cách khác có được ko ạ cho em xin cách S.O.S và nhiều cách khác     

[vutuanhien]

cho a,b,c là các số thực dương c/m

$\frac{a^{2}+2bc}{(b+c)^{2}}+\frac{b^{2}+2ac}{(a+c)^{2}}+\frac{c^{2}+2ab}{(a+b)^{2}}$$\geq$$\frac{9}{4}$

p/s thầy em kêu là dùng S.O.S dùng cách khác có được ko ạ cho em xin cách S.O.S và nhiều cách khác     

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
 

$$(\sum \dfrac{a^2+2bc}{(b+c)^2})(\sum (a^2+2bc))\geq (\sum \dfrac{a^2+2bc}{b+c})^2$$

 

Do đó ta chỉ cần chứng minh:

$$\sum \dfrac{a^2+2bc}{b+c}\geq \dfrac{3(a+b+c)}{2}$$

 

Khai triển ra ta có BĐT tương đương với:

$$2\sum a^4+2abc\sum a\geq \sum a^3(b+c)+2\sum a^2b^2$$

 

BĐT này hiển nhiên đúng vì theo BĐT Schur và BĐT AM-GM:

$$2\sum a^4+2abc\sum a\geq 2\sum a^3(b+c)$$

$$\sum a^3(b+c)=\sum ab(a^2+b^2)\geq 2\sum a^2b^2$$

Cộng 2 BĐT này lại ta có đpcm.

[Gachdptrai12]

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
 

$$(\sum \dfrac{a^2+2bc}{(b+c)^2})(\sum (a^2+2bc))\geq (\sum \dfrac{a^2+2bc}{b+c})^2$$

 

Do đó ta chỉ cần chứng minh:

$$\sum \dfrac{a^2+2bc}{b+c}\geq \dfrac{3(a+b+c)}{2}$$

 

Khai triển ra ta có BĐT tương đương với:

$$2\sum a^4+2abc\sum a\geq \sum a^3(b+c)+2\sum a^2b^2$$

 

BĐT này hiển nhiên đúng vì theo BĐT Schur và BĐT AM-GM:

$$2\sum a^4+2abc\sum a\geq 2\sum a^3(b+c)$$

$$\sum a^3(b+c)=\sum ab(a^2+b^2)\geq 2\sum a^2b^2$$

Cộng 2 BĐT này lại ta có đpcm.

cái này ở trong sáng tạo bđt phải ko :v

[vutuanhien]

Hình như vậy, cũng không nhớ lắm

Bài toán này nổi tiếng quá rồi