Chủ đề này có 2 trả lời

[royal1534]

Cho 3 số dương a,b,c 

Chứng minh rằng:

$\frac{4a^{2}+(b-c)^{2}}{2a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{4b^{2}+(c-a)^{2}}{2b^{2}+c^{2}+a^{2}}+\frac{4c^{2}+(a-b)^{2}}{2c^{2}+a^{2}+b^{2}} \geq 3$ 

[phamquanglam]

Cho 3 số dương a,b,c 

Chứng minh rằng:

$\frac{4a^{2}+(b-c)^{2}}{2a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{4b^{2}+(c-a)^{2}}{2b^{2}+c^{2}+a^{2}}+\frac{4c^{2}+(a-b)^{2}}{2c^{2}+a^{2}+b^{2}} \geq 3$ 

Ta có: $A=\sum \frac{4a^{2}}{2a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\sum \frac{(b-c)^{2}}{2a^{2}+b^{2}+c^{2}}-3$

Xét: $\sum \frac{4a^{2}}{2a^{2}+b^{2}+c^{2}}-3=\sum \frac{a^{2}-b^{2}+a^{2}-c^{2}}{2a^{2}+b^{2}+c^{2}}=\sum (a^{2}-b^{2})(\frac{1}{2a^{2}+b^{2}+c^{2}}-\frac{1}{2b^{2}+c^{2}+a^{2}})=\sum \frac{(a-b)^{2}(a+b)^{2}}{(2a^{2}+b^{2}+c^{2})(2b^{2}+c^{2}+a^{2})}$

Nên $A=\sum \frac{(a-b)^{2}(a+b)^{2}}{(2a^{2}+b^{2}+c^{2})(2b^{2}+c^{2}+a^{2})}+\sum \frac{(b-c)^{2}}{2a^{2}+b^{2}+c^{2}}=\sum (a-b)^{2}(\frac{(a+b)^{2}}{(2a^{2}+b^{2}+c^{2})(2b^{2}+c^{2}+a^{2})}+\frac{1}{2c^{2}+a^{2}+b^{2}})\geq 0$

Luôn đúng nên có đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoanglong2k: 03-10-2015 - 01:56

[royal1534]

 

Ta có: $A=\sum \frac{4a^{2}}{2a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\sum \frac{(b-c)^{2}}{2a^{2}+b^{2}+c^{2}}-3$

Xét: $\sum \frac{4a^{2}}{2a^{2}+b^{2}+c^{2}}-3=\sum \frac{a^{2}-b^{2}+a^{2}-c^{2}}{2a^{2}+b^{2}+c^{2}}=\sum (a^{2}-b^{2})(\frac{1}{2a^{2}+b^{2}+c^{2}}-\frac{1}{2b^{2}+c^{2}+a^{2}})=\sum \frac{(a-b)^{2}(a+b)^{2}}{(2a^{2}+b^{2}+c^{2})(2b^{2}+c^{2}+a^{2})}$

Nên $A=\sum \frac{(a-b)^{2}(a+b)^{2}}{(2a^{2}+b^{2}+c^{2})(2b^{2}+c^{2}+a^{2})}+\sum \frac{(b-c)^{2}}{2a^{2}+b^{2}+c^{2}}=\sum (a-b)^{2}(\frac{(a+b)^{2}}{(2a^{2}+b^{2}+c^{2})(2b^{2}+c^{2}+a^{2})}+\frac{1}{2c^{2}+a^{2}+b^{2}})\geq 0$

Luôn đúng nên có đpcm

 

Lỗi latex nên đăng lại