Chủ đề này có 8 trả lời

[meoconhocxuong]

Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho n! là số chính phương.

[superpower]

Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho n! là số chính phương.

Theo mình nghĩ là không tồn tại n nhé

Vì lấy số nguyên tố gần nhất với n

Thì không còn số nào chia hết cho p hết ( Vì tích của n số tự nhiên đầu tiên )

Nên không thể là số chính phương. 

[gianglqd]

Theo mình nghĩ là không tồn tại n nhé

Vì lấy số nguyên tố gần nhất với n

Thì không còn số nào chia hết cho p hết ( Vì tích của n số tự nhiên đầu tiên )

Nên không thể là số chính phương. 

n=1

[superpower]

n=1

n=1 xét riêng được mà. 1 thì đặc biệt quá. Lời giải trên kia còn nhiều chỗ hở

[meoconhocxuong]

Theo mình nghĩ là không tồn tại n nhé

Vì lấy số nguyên tố gần nhất với n

Thì không còn số nào chia hết cho p hết ( Vì tích của n số tự nhiên đầu tiên )

Nên không thể là số chính phương. 

Vậy thì ta phải cm $p<n<p^2$ trong đó p là ước nguyên tố lớn nhất của n. Điều này không hiển nhiên đâu nhé.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi meoconhocxuong: 02-10-2015 - 14:29

[superpower]

Vậy thì ta phải cm $p<n<p^2$ trong đó p là ước nguyên tố lớn nhất của n. Điều này không hiển nhiên đâu nhé.

do n! mà. Nên cũng dễ hiểu. Mà bây giờ tìm cách chứng minh cho thuyết phục

[meoconhocxuong]

Vậy thì ta phải cm $p<n<p^2$ trong đó p là ước nguyên tố lớn nhất của n. Điều này không hiển nhiên đâu nhé.

Ủa, phía trên mình nhầm rồi, p phải là số nguyên tố lớn nhất không vượt quá n chứ. Xin lỗi mọi người.

[meoconhocxuong]

Thưc ra nếu đi theo hướng của bạn superpower, ta sẽ phải cm tồn tại số nguyên tố p mà $p<n<p^2$. Có thể thấy điều này đúng nếu ta cm được bài toán sau:

CM rằng với mọi số tự nhiên $n>1$ thì luôn có ít nhất 1 số nguyên tố p mà $n<p<2n$.

Đây chính là định lý Bertrand. Tuy nhiên cm của nó, theo mình được biết, thì hầu hết là dài dòng và khá phức tạp. (xem dưới đây cho cm của  P.Erdos). vậy các bạn hãy thử tìm 1 hướng đi nào khác cho bài toán này hay tìm cách khác đơn giản hơn cho đ.l Bertrand.

Cm của Erdos:

 

File gửi kèm

•  bertrand prime_postulate.pdf   211.23K   436 Số lần tải

[Ego]

Nếu được phép áp dụng bổ đề luôn thì đây là lời giải của mình :-D
Ta sẽ chứng minh chỉ có $n = 1$ là thỏa mãn. Kiểm tra được $n = 1$ là nghiệm. Giả sử tồn tại $n \ge 2$ sao cho $n! = m^{2}$.
Bổ đề. Cho $p$ là số nguyên tố sao cho $p\mid K^{2}$ thì $p^{2} \mid K^{2}$
Gọi $q$ là số nguyên tố lớn nhất không vượt quá $n$. Khi đó do $q\mid m^{2}$ áp dụng bổ đề ta có $q^{2}\mid n!$. Nói cách khác, trong các số từ 1 đến $n$ có chứa số $2q$.
Mặt khác, áp dụng bổ đề Bertrand, giữa $q$ và $2q$ có một số nguyên tố $p$ sao cho $q < p < 2q$. Điều này mâu thuẫn với tính lớn nhất của $q$.