Chủ đề này có 1 trả lời

[songokucadic1432]

Cho $\left\{\begin{matrix} x,y,z>0 & \\ xyz=8& \end{matrix}\right.$

Tìm min $\frac{1}{\sqrt{x^3+1}}+\frac{1}{\sqrt{y^3+1}}+\frac{1}{\sqrt{z^3+1}}$

thank     

[royal1534]

Ta có $\frac{1}{\sqrt{x^{3}+1}}=\frac{1}{\sqrt{(x+1)(x^{2}-x+1)}} \geq \frac{1}{\frac{x^{2}+2}{2}}=\frac{2}{x^{2}+2}$

Xây dựng các bđt tương tự ta có:

$\frac{1}{\sqrt{x^{3}+1}}+\frac{1}{\sqrt{y^{3}+1}}+\frac{1}{\sqrt{z^{3}+1}} \geq \frac{2}{x^{2}+2}+\frac{2}{y^{2}+2}+\frac{2}{z^{2}+2}$  $(1)$

Vì $xyz=8$ nên ta đặt $x=\frac{2bc}{a^{2}}$;$y=\frac{2ac}{b^{2}}$;$z=\frac{2ab}{c^{2}}$

$\rightarrow$ $\frac{2}{x^{2}+2}+\frac{2}{y^{2}+2}+\frac{2}{z^{2}+2}$=$\frac{2a^{4}}{4b^{2}c^{2}+2a^{4}}+\frac{2b^{4}}{4a^{2}c^{2}+2b^{4}}+\frac{2c^{4}}{4a^{2}b^{2}+2c^{4}}$=$\frac{a^{4}}{2b^{2}c^{2}+a^{4}}+\frac{b^{4}}{2a^{2}c^{2}+b^{4}}+\frac{c^{4}}{2a^{2}b^{2}+c^{4}}$ $\geq$ $\frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{a^{4}+b^{4}+c^{4}+2(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})}=1$ $(2)$ 

$(1)(2)$ $\rightarrow$$\frac{1}{\sqrt{x^{3}+1}}+\frac{1}{\sqrt{y^{3}+1}}+\frac{1}{\sqrt{z^{3}+1}} \geq 1$

Dấu '=' xảy ra khi $x=y=z=2$ 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi royal1534: 02-10-2015 - 12:27