Chủ đề này có 4 trả lời

[caybutbixanh]

Với $0<x< \frac{\pi}{2}.$ Chứng minh rằng : $\sin x > \frac{2}{\pi}.x$

[ttlinhtinh]

Với $0<x< \frac{\pi}{2}.$ Chứng minh rằng : $\sin x > \frac{2}{\pi}.x$

Xét hàm số $f(x)=\sin x-\frac{2x}{\pi}$ với $0<x<\frac{\pi}{2}$

Ta có: $f'(x)=\cos x -\frac{2}{\pi}$. Gọi $x_0\in (0,\frac{\pi}{2})$ thỏa mãn $f'(x_0) = 0$.

Do $\cos x_{0} = \frac{2}{\pi}$ suy ra $\sin x_{0} = \sqrt{\frac{\pi^2 - 4}{\pi^2}}$

Khi đó:

Với $x\in (0,x_{0})$, $f'(x)>0$, suy ra hàm $f(x)$ đồng biến. Do đó: $f(x)>f(0)=0\Rightarrow \sin x > \frac{2x}{\pi}$

Với $x\in (x_{0},\frac{\pi}{2})$, $f'(x)<0$, suy ra hàm $f(x)$ nghịch biến. Do đó: $f(x)>f(\frac{\pi}{2})=0\Rightarrow \sin x>\frac{2x}{\pi}$

Tại $x = x_{0}$, ta có $\sin x_{0} - \frac{2x_{0}}{\pi} > 0$.

Tóm lại, với $0<x<\frac{\pi}{2}$ ta có: $\sin x>\frac{2x}{\pi}$

[caybutbixanh]

 

Với $x\in (0,x_{0})$, $f'(x)>0$, suy ra hàm $f(x)$ đồng biến. Do đó: $f(x)>f(0)=0\Rightarrow \sin x > \frac{2x}{\pi}$

Với $x\in (x_{0},\frac{\pi}{2})$, $f'(x)<0$, suy ra hàm $f(x)$ nghịch biến. Do đó: $f(x)>f(\frac{\pi}{2})=0\Rightarrow \sin x>\frac{2x}{\pi}$

Tại $x = x_{0}$, ta có $\sin x_{0} - \frac{2x_{0}}{\pi} > 0$.

Tóm lại, với $0<x<\frac{\pi}{2}$ ta có: $\sin x>\frac{2x}{\pi}$

Cho mình hỏi, tại sao lại có dòng màu đỏ vậy ? Vì tui thấy hàm số $\cos$ nghịch biến trên $(0;\frac{\pi}{2})$ nên đáng lẽ phải ngược lại chứ ta ?

Nếu có bài tương tự như sau, bạn sẽ giải như thế nào :

Cho $x \in (0; \frac{\pi}{4})$ chứng minh $\tan x < \frac{4}{\pi}.x$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi caybutbixanh: 03-10-2015 - 22:18

[ttlinhtinh]

Cho mình hỏi, tại sao lại có dòng màu đỏ vậy ? Vì tui thấy hàm số $\cos$ nghịch biến trên $(0;\frac{\pi}{2})$ nên đáng lẽ phải ngược lại chứ ta ?

Nếu có bài tương tự như sau, bạn sẽ giải như thế nào :

Cho $x \in (0; \frac{\pi}{4})$ chứng minh $\tan x > \frac{4}{\pi}.x$

Đúng là hàm $\cos x$ nghịch biến trên $(0, \frac{\pi}{2})$, nhưng $f'(x) = \cos x - \frac{2}{\pi}$ chứ không phải $f'(x) = \cos x$

Với $x \in (0, x_{0})$ thì $\cos x > \frac{2}{\pi}$

Với $x \in (x_{0}, \frac{\pi}{2})$ thì $\cos x < \frac{2}{\pi}$

[caybutbixanh]

Đúng là hàm $\cos x$ nghịch biến trên $(0, \frac{\pi}{2})$, nhưng $f'(x) = \cos x - \frac{2}{\pi}$ chứ không phải $f'(x) = \cos x$

Với $x \in (0, x_{0})$ thì $\cos x > \frac{2}{\pi}$

Với $x \in (x_{0}, \frac{\pi}{2})$ thì $\cos x < \frac{2}{\pi}$

À rồi...mình hiểu......Giả sử trong khoảng $(0; \frac{\pi}{2})$ có vô số điểm $x_0$ thỏa $f'(x_0)=0$ thì liệu chứng minh trong bài còn đúng không nhỉ ? Cái này mình còn phân vân nên hỏi luôn.......