Chủ đề này có 4 trả lời

[hieubota2]

cho $a,b,c>0$ chứng minh rằng:

$\sum \frac{1}{(a+2b)^{2}} \geq \frac{1}{ab+bc+ca}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoanglong2k: 04-10-2015 - 13:48

[Coppy dera]

cho $a,b,c>0$ chứng minh rằng:

$\sum \frac{1}{(a+2b)^{2}} \geq \frac{1}{ab+bc+ca}$

AD BĐT Cauchy - Schwarz:

 

$\sum \frac{1}{(a+2b)^2} \geq \frac{9}{5(a^2+b^2+c^2)+4(ab+bc+ca)} \geq \frac{9}{9(ab+bc+ca} \geq \frac{1}{ab+bc+ca}$

[hoangson2598]

AD BĐT Cauchy - Schwarz:

 

$\sum \frac{1}{(a+2b)^2} \geq \frac{9}{5(a^2+b^2+c^2)+4(ab+bc+ca)} \geq \frac{9}{9(ab+bc+ca} \geq \frac{1}{ab+bc+ca}$

??

 $\frac{9}{5(a^2+b^2+c^2)+4(ab+bc+ca)} \geq \frac{9}{9(ab+bc+ca}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangson2598: 04-10-2015 - 14:46

[Coppy dera]

??

 $\frac{9}{5(a^2+b^2+c^2)+4(ab+bc+ca)} \geq \frac{9}{9(ab+bc+ca}$

nhầm 

[longatk08]

cho $a,b,c>0$ chứng minh rằng:

$\sum \frac{1}{(a+2b)^{2}} \geq \frac{1}{ab+bc+ca}$

Đặt $x=a+2b,y=b+2c,z=c+2a$ thì ta có:

 

$a=\frac{x-2y+4z}{9},b=\frac{y-2z+4x}{9},z=\frac{z-2x+4y}{9}$

 

Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:

 

$\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\geq \frac{81}{15(xy+yz+xz)-6(x^2+y^2+z^2)}$

 

BĐT này tương đương:

 

$\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\geq \frac{81}{15(xy+yz+xz)-6(x^2+y^2+z^2)}$

 

Xét $x=y=1$ thì ta cần chứng minh:

 

$\frac{1}{x^2}+2-\frac{81}{30x-6x^2+3}\geq 0$

trong đó $\frac{1}{4}<x<\frac{5}{2}$