Chủ đề này có 2 trả lời

[Dung Du Duong]

Cho các số a,b,c tự nhiên và (a - b) là số nguyên tố thỏa mãn: $3.c^2=c.(a+b)+ab$

CMR: 8c + 1 là số chính phương

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dung Du Duong: 09-10-2015 - 23:29

[Namthemaster1234]

Cho các số a,b,c tự nhiên và (a - b) là số nguyên tố thỏa mãn: $3.c^2=c.(a+b)+ab$
CMR: 8c -1 là số chính phương

 

Mình nghĩ đề là $8c+1$

 

$\Leftrightarrow 3c^2-c(a+b)-ab$
 
Theo viét: $\left\{\begin{matrix} c_1+c_2= \frac{a+b}{3} & & \\ c_1.c_2= \frac{-ab}{3}& & \end{matrix}\right.$
 
$\rightarrow 3 \mid a,b$.  Do đó: $a-b=3$ vì $a-b$ nguyên tố. Nên $a>b$
 
$3c^2=ab+ac+bc < a^2+ac+ac =a^2+2ac \Rightarrow (a+c)^2  >4c^2 \Rightarrow a >c$
$3c^2=ab+ac+bc >b^2+bc+bc =b^2+2bc \Rightarrow (b+c)^2 <4c^2 \Rightarrow b<c$
 
Vậy $a>c>b \Rightarrow a-b>c-b>0 \Rightarrow 3 >c-b>0 \Rightarrow c-b =2$ hoặc $c-b=1$

 

TH1

Nếu $c-b=1$ thì $a-c=2$

 

$3c^2=c(a-b+2b)+ba=3c+b(2c+a)=3c+(c-1)(a-c+3c)=3c+(c-1)(2+3c) 3c \Rightarrow c=-2$ loại

 

TH2

Nếu $c-b=2$ thì tương tự trên $3c^2=3c+(c-2)(3c+1)$

tìm được $c=1$

 

Vậy $8c+1=9$ là số chính phương

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Namthemaster1234: 09-10-2015 - 21:26

[Dung Du Duong]

Mình nghĩ đề là $8c+1$

 

$\Leftrightarrow 3c^2-c(a+b)-ab$
 
Theo viét: $\left\{\begin{matrix} c_1+c_2= \frac{a+b}{3} & & \\ c_1.c_2= \frac{-ab}{3}& & \end{matrix}\right.$
 
$\rightarrow 3 \mid a,b$.  Do đó: $a-b=3$ vì $a-b$ nguyên tố. Nên $a>b$
 
$3c^2=ab+ac+bc < a^2+ac+ac =a^2+2ac \Rightarrow (a+c)^2  >4c^2 \Rightarrow a >c$
$3c^2=ab+ac+bc >b^2+bc+bc =b^2+2bc \Rightarrow (b+c)^2 <4c^2 \Rightarrow b<c$
 
Vậy $a>c>b \Rightarrow a-b>c-b>0 \Rightarrow 3 >c-b>0 \Rightarrow c-b =2$ hoặc $c-b=1$

 

TH1

Nếu $c-b=1$ thì $a-c=2$

 

$3c^2=c(a-b+2b)+ba=3c+b(2c+a)=3c+(c-1)(a-c+3c)=3c+(c-1)(2+3c) 3c \Rightarrow c=-2$ loại

 

TH2

Nếu $c-b=2$ thì tương tự trên $3c^2=3c+(c-2)(3c+1)$

tìm được $c=1$

 

Vậy $8c+1=9$ là số chính phương

ừ, cám ơn bạn, mình nhầm, mình đã sửa