5 replies to this topic

[royal1534]

1,Cho a,b,c là các số thực dương thỏa a+b+c=1

Chứng minh: $\frac{a}{a^{3}+a^{2}+1}+\frac{b}{b^{3}+b^{2}+1}+\frac{c}{c^{3}+c^{2}+1} \leq \frac{27}{31}$

2,Cho x,y,z là các số thực dương.

Chứng mình $\frac{x^{2}-z^{2}}{y+z}+\frac{y^{2}-x^{2}}{z+x}+\frac{z^{2}-y^{2}}{x+y} \geq 0$

Edited by royal1534, 10-10-2015 - 12:37.

[Fr13nd]

đề 2 sai

Edited by Fr13nd, 10-10-2015 - 12:08.

[anhxtanh1879]

2,Cho x,y,z là các số thực dương.

Chứng mình $\frac{x^{2}-z^{2}}{y+z}+\frac{y^{2}-z^{2}}{z+x}+\frac{z^{2}-y^{2}}{x+y} \geq 0$

chỗ màu đỏ phải là x² chứ nhỉ??

[royal1534]

chỗ màu đỏ phải là x² chứ nhỉ??

Đã fix 

[anhxtanh1879]

2,Cho x,y,z là các số thực dương.

Chứng mình $\frac{x^{2}-z^{2}}{y+z}+\frac{y^{2}-x^{2}}{z+x}+\frac{z^{2}-y^{2}}{x+y} \geq 0$

Gs $x \geq y; x \geq z$

TH1: $x \geq y \geq z$

$\Rightarrow x + y \geq x + z \geq y + z \Rightarrow y^{2} - x^{2} \leq 0; z^{2} - y^{2} \leq 0$

$\Rightarrow \frac{x^{2} - z^{2}}{y + z} = \frac{x^{2} - z^{2}}{y + z}$

$\frac{y^{2} - x^{2}}{x + z} \geq \frac{y^{2} - x^{2}}{y + z}$

$\frac{z^{2} - y^{2}}{x + y} \geq \frac{z^{2} - y^{2}}{y + z}$

Cộng các bđt trên ta dc đpcm

TH2: $x \geq z \geq y \Rightarrow x + z \geq x + y \geq y + z \Rightarrow x^{2} - z^{2} \geq 0; z^{2} - y^{2} \geq 0$

$\Rightarrow \frac{x^{2} - z^{2}}{y + z} \geq \frac{x^{2} - z^{2}}{x + z}$

$\frac{y^{2} - x^{2}}{z + x} = \frac{y^{2} - x^{2}}{z + x}$

$\frac{z^{2} - y^{2}}{x + y} \geq \frac{z^{2} - y^{2}}{x + z}$

Cộng lại ta dc đpcm

[KietLW9]

1,Cho a,b,c là các số thực dương thỏa a+b+c=1

Chứng minh: $\frac{a}{a^{3}+a^{2}+1}+\frac{b}{b^{3}+b^{2}+1}+\frac{c}{c^{3}+c^{2}+1} \leq \frac{27}{31}$

Ta có: 

$\frac{594a+81}{961}-\frac{a}{a^3+a^2+1}=\frac{(3a-1)^2(66a^2+119a+81)}{961(a^3+a^2+1)}\geqslant 0\Rightarrow\frac{a}{a^3+a^2+1}\leqslant \frac{594a+81}{961}$

Tương tự rồi cộng lại,

$\frac{a}{a^{3}+a^{2}+1}+\frac{b}{b^{3}+b^{2}+1}+\frac{c}{c^{3}+c^{2}+1}\leqslant \frac{594(a+b+c)+243}{961}=\frac{27}{31}$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$