Chủ đề này có 3 trả lời

[thoan852]

Cho các số thực dương a,b,c thoả mãn $a+b+c=1$.Tính GTLN của $P=\frac{ab}{c+1}+\frac{ac}{b+1}+\frac{bc}{a+1}$

[anhxtanh1879]

Cho các số thực dương a,b,c thoả mãn $a+b+c=1$.Tính GTLN của $P=\frac{ab}{c+1}+\frac{ac}{b+1}+\frac{bc}{a+1}$

Ta có: $\frac{ab}{c + 1} = \frac{ab}{(a + c) + (b + c)} \leq \frac{ab}{4}(\frac{1}{a + c} + \frac{1}{b + c}) = \frac{1}{4}(\frac{ab}{a + c} + \frac{ab}{b + c})$

Tương tự cộng lại ta dc:

$P \leq \frac{1}{4}(a + b + c) = \frac{1}{4}$

Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow a = b = c = \frac{1}{3}$

[royal1534]

Cho các số thực dương a,b,c thoả mãn $a+b+c=1$.Tính GTLN của $P=\frac{ab}{c+1}+\frac{ac}{b+1}+\frac{bc}{a+1}$

Áp dụng bđt quen thuộc $\frac{1}{x}+\frac{1}{y} \geq \frac{4}{x+y}$ $(x,y>0)$

Ta có $\frac{ab}{(a+c)+(b+c)}\leq \frac{1}{4}.ab.(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c})=\frac{1}{4}(\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c})$

Thiết lập các bđt tương tự ta có

$VT$ $\leq \frac{1}{4}(\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c}+\frac{ac}{a+b}+\frac{ac}{c+b}+\frac{bc}{a+b}+\frac{bc}{a+c}_=\frac{1}{4}(a+b+c)=\frac{1}{4}$

Dấu '=' xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$ 

P/s:Làm xong mới biết bác anhxtanh1879 làm rồi   

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi royal1534: 10-10-2015 - 21:28

[huonggiang121]

 

Áp dụng bđt quen thuộc $\frac{1}{x}+\frac{1}{y} \geq \frac{4}{x+y}$ $(x,y>0)$

Ta có $\frac{ab}{(a+c)+(b+c)}\leq \frac{1}{4}.ab.(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c})=\frac{1}{4}(\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c})$

Thiết lập các bđt tương tự ta có

$VT$ $\leq \frac{1}{4}(\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c}+\frac{ac}{a+b}+\frac{ac}{c+b}+\frac{bc}{a+b}+\frac{bc}{a+c}_=\frac{1}{4}(a+b+c)=\frac{1}{4}$

Dấu '=' xảy ra khi $a=b=c$ 

P/s:Làm xong mới biết bác anhxtanh1879 làm rồi   

 

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a= b= c= \frac{1}{3}$ chứ bạn