Chủ đề này có 2 trả lời

[anhxtanh1879]

Cho $a, b, c, d > 0$. CMR:

$\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \geq \frac{a + d}{b + d} + \frac{b + d}{c + d} + \frac{c + d}{a + d}$

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anhxtanh1879: 10-10-2015 - 13:04

[Chung Anh]

Cho $a, b, c, d > 0$. CMR:

$\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \geq \frac{a + d}{b + d} + \frac{b + d}{c + d} + \frac{c + d}{a + d}$

$BĐT \Leftrightarrow  \frac{ad-bd}{b(b+d)}+\frac{bd-cd}{c(c+d)}+\frac{cd-da}{a(a+d)}\geq 0\Leftrightarrow \frac{ad+b^2}{b(b+d)}+\frac{bd+c^2}{c(c+d)}+\frac{cd+a^2}{a(a+d)}\geq 3$

Áp dụng AM-GM và Cauchy Schwarz $ \frac{ad+b^2}{b(b+d)}+\frac{bd+c^2}{c(c+d)}+\frac{cd+a^2}{a(a+d)}\geq 3\sqrt[3]{\frac{(ad+b^2)(bd+c^2)(cd+a^2)}{abc(a+d)(b+d)(c+d)}}$

                                                         $=3\sqrt[3]{\frac{[(ad+b^2)(ad+a^2)][(bd+c^2)(bd+b^2)][(cd+a^2)(cd+c^2)]}{[abc(a+d)(b+d)(c+d)]^2}}$

                                                         $\geq 3\sqrt[3]{\frac{(ad+ab)^2(bd+bc)^2(cd+ac)^2}{[abc(a+d)(b+d)(c+d)]^2}}=3 $

Vậy ta có đpcm

Dấu bằng xảy ra <=>$a=b=c>0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Chung Anh: 10-10-2015 - 14:19

[hoanglong2k]

$BĐT \Leftrightarrow  \frac{ad-bd}{b(b+d)}+\frac{bd-cd}{c(c+d)}+\frac{cd-da}{a(a+d)}\geq 0\Leftrightarrow \frac{ad+b^2}{b(b+d)}+\frac{bd+c^2}{c(c+d)}+\frac{cd+a^2}{a(a+d)}\geq 3$

Áp dụng AM-GM và Cauchy Schwarz $ \frac{ad+b^2}{b(b+d)}+\frac{bd+c^2}{c(c+d)}+\frac{cd+a^2}{a(a+d)}\geq 3\sqrt[3]{\frac{(ad+b^2)(bd+c^2)(cd+a^2)}{abc(a+d)(b+d)(c+d)}}$

                                                         $=3\sqrt[3]{\frac{[(ad+b^2)(ad+a^2)][(bd+c^2)(bd+b^2)][(cd+a^2)(cd+c^2)]}{[abc(a+d)(b+d)(c+d)]^2}}$

                                                         $\geq 3\sqrt[3]{\frac{(ad+ab)^2(bd+bc)^2(cd+ac)^2}{[abc(a+d)(b+d)(c+d)]^2}}=3 $

Vậy ta có đpcm

Dấu bằng xảy ra <=>$a=b=c>0$

 Bất đẳng thức tương đương :

$$(a-b)^2\left [ \frac{1}{ab}-\frac{1}{(a+d)(b+d)} \right ]+(a-c)(b-c)\left [\frac{1}{ac}-\frac{1}{(a+d)(c+d)}\right ]\geq 0$$

 Luôn đúng khi cho $c=\min \{a,b,c\}$

 BĐT trên chính là mở rộng của bài toán này

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoanglong2k: 14-10-2015 - 13:03