5 replies to this topic

[OiDzOiOi]

Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng

$\frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b^{2}}{c+a}+\frac{c^{2}}{a+b}\geq \frac{c^{2}}{b+c}+\frac{a^{2}}{c+a}+\frac{b^{2}}{a+b}$

Edited by hoanglong2k, 11-10-2015 - 11:01.

[Longtunhientoan2k]

Giả sử a=max{a,b,c}.Chuyển vế rồi xét dấu là ra mà em.

[OiDzOiOi]

anh giải dùm em luôn đi

[Longtunhientoan2k]

 Giả sử a=max{a,b,c}.Ta có:

        $ BĐT\Leftrightarrow \frac{a^{2}(a-b)}{(b+c)(a+c)}+\frac{b^{2}(b-c)}{(a+c)(a+b)}+\frac{c^{2}(c-a)}{(a+b)(b+c)}$

thế a-c=a-b+b-c vào là xong.Chú ý giả sử:a=max{a,b,c}

[royal1534]

Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng

$\ \frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b^{2}}{c+a}+\frac{c^{2}}{a+b}\geq \frac{c^{2}}{b+c}+\frac{a^{2}}{c+a}+\frac{b^{2}}{a+b}$

Bạn có thể tham khảo cách khác ở đây

[KietLW9]

Ta dễ có: $\sum_{cyc}\frac{b^2}{b+c}=\sum_{cyc}\frac{c^2}{b+c}$

Như vậy, ta cần chứng minh: $\frac{2a^2}{b+c}+\frac{2b^2}{c+a}+\frac{2c^2}{a+b}\geqslant \frac{a^2+b^2}{a+b}+\frac{b^2+c^2}{b+c}+\frac{c^2+a^2}{c+a}\Leftrightarrow \frac{(a+b)(a-b)+(a+c)(a-c)}{b+c}+\frac{(b+c)(b-c)+(b+a)(b-a)}{c+a}+\frac{(c+a)(c-a)+(c-b)(c+b)}{a+b}\geqslant 0\Leftrightarrow\sum_{cyc}\frac{(a+b)(a-b)^2}{(b+c)(c+a)}\geqslant 0$

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c