1 reply to this topic

[hungnguyenhsgs2109]

Chứng minh rằng phương trình (4x-1)(4y-1)=4z²+1 có vô sô nghiệm nguyên.

[superpower]

Chứng minh rằng phương trình (4x-1)(4y-1)=4z²+1 có vô sô nghiệm nguyên.

Mình nghĩ là vô nghiệm nguyên. Không biết sao

Bổ đề 1: Số có dạng $x^2+1$ sẽ không có ước số nguyên tố dạng $4k+3$

 Ta sẽ sử dụng phương pháp phản chứng. Giả sử tồn tại $x^2+1$ có ước nguyên tố dạng $4k+3$

 Dễ chứng minh vô lý thôi

Bổ đề 2: Tích 2 số có dạng $4k-1$ sẽ là số có dạng $4k-1$

Bổ đề 3: Số có dạng $4k+3$ sẽ có ước nguyên tố dạng $4k+3$

 

Áp dụng 3 bổ đề trên, ta được

Xét VT, gọi $p$ là ước số nguyên tố dạng $4k+3$ của $(4x-1)(4y-1)$

Xét VP, $(2z)^2 +1$ không chia hết cho $p$

Suy ra phương trình đã cho không có nghiệm nguyên

Đây là bài VMO Kiên Giang năm nay. Đề kêu là chứng minh vô nghiệm nguyên dương nhưng vô số nghiệm nguyên

Edited by superpower, 15-10-2015 - 22:24.