Cho ba số dương a,b,c.CMR $(a+b+c)^{5}$$\geq$81($a^{2}$+$b^{2}$+$c^{2}$)abc.
$(a+b+c)^{5}$$\geq$81($a^{2}$+$b^{2}$+$c^{2}$)abc.
#1
Đã gửi 16-10-2015 - 05:04
#2
Đã gửi 17-10-2015 - 13:55
Cho ba số dương a,b,c.CMR $(a+b+c)^{5}$$\geq$81($a^{2}$+$b^{2}$+$c^{2}$)abc.
Không mất tính tổng quát, giả sử $a\leq b\leq c$
Đặt $b=a+x$ và $c=a+x+y$ với $x,y\geq 0$
Khi đó bất đẳng thức tương đương $(2x+y)^5+27a^3(x^2+xy+y^2)+9a^2(2x+y)^3+3a(26x^4+52x^3y+39x^2y^2+13xy^3+5y^4)\geq 0$
Luôn đúng :v
Đùa thôi Cách trên trâu bò quá
Lời giải :
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có :
$(ab+bc+ca)^2\geq 3abc(a+b+c)\Rightarrow 3abc\leq \frac{(ab+bc+ca)^2}{a+b+c}$
Nên ta chỉ cần chứng minh
$(a+b+c)^6\geq 27(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)^2$
Để í : $(a+b+c)^6=[a^2+b^2+c^2+(ab+bc+ca)+(ab+bc+ca)]^3$
Áp dụng AM-GM ta có ngay điều cần chứng minh
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c$
- duythanbg, lananh11 và Quoc Tuan Qbdh thích
#3
Đã gửi 17-10-2015 - 19:31
Chứng minh BĐT Tổng quát được đấy :
Với $a_{i}>0$
$a_{1}a_{2}...a_{n}(a_{1}^2+a_{2}^2+...+a_{n}^2) \leq \frac{(a_{1}+a_{2}+...+a_{n})^{n+2}}{n^{n+1}}$
Chứng minh bằng Quy nạp và Dồn biến về Trung bình cộng.
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh