Chủ đề này có 4 trả lời

[manhhung2013]

Cho a, b, c thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$. Chứng minh rằng:

$\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\geq 3$.

[lovelyDevil]

bình phương lên và dùng cô si nhé

[Coppy dera]

Cho a, b, c thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$. Chứng minh rằng:

$\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\geq 3$.

bạn bình phương VT rồi áp dụng (x+y+z)^2>=3(xy+yz+zx)

[NAGATOPain]

Ta có : 

$VT^2 = \left ( \frac{ab}{c} + \frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\right )^2 \geq 3\left ( \frac{ab}{c}.\frac{bc}{a} + \frac{bc}{a}.\frac{ca}{b} + \frac{ca}{b}.\frac{ab}{c}\right )$

$= 3(a^2+b^2+c^2) = 9$

$\Rightarrow VT \geq 3$ (đpcm)

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1.

[Quoc Tuan Qbdh]

Cho a, b, c thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$. Chứng minh rằng:

$\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\geq 3$.

Đặt $(\frac{ab}{c};\frac{bc}{a};\frac{ca}{b})$$\mapsto (x;y;z)$

Theo giả thiết ta có : $xy+yz+zx=3$

Bất đẳng thức trở thành $x+y+z \geq 3$

Tương đương $(x+y+z)^{2} \geq 3^{2}=3(xy+yz+zx)$ ( hiển nhiên đúng )

Dấu bằng xảy ra khi $\left\{\begin{matrix}x=y=z \\ xy+yz+zx=3 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y=z=1\Leftrightarrow a=b=c=1$