Đến nội dung


Hình ảnh

Cho a,b,c>0 và abc=1, CMR: $\sum\frac{a^{3}}{(1+b)(1+c)}\geq\frac{3}{4}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1 tpctnd

tpctnd

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 62 Bài viết

Đã gửi 18-10-2015 - 20:39

1/ Cho tam giác ABC, chứng minh rằng $\sum\frac{1}{a}+\frac{9}{a+b+c} \geq 4(\sum\frac{1}{a+b})$
2/ Cho $a,b,c>0$ CMR $\frac{1+\sqrt{3}}{3\sqrt{3}}(\sum a^{2})(\sum\frac{1}{a})\geq(\sum a+\sqrt{\sum a^{2}})$

3/ Cho a,b,c>0, tìm max $P=\sum\frac{a(b+c)}{a^{2}+(b+c)^{2}}$

4/ Cho a,b,c>0, CMR: $\sum\sqrt{\frac{a^{3}}{a^{3}+(b+c)^{3}}}\geq1$
5/Cho a,b,c>0 và abc=1, CMR: $\sum\frac{a^{3}}{(1+b)(1+c)}\geq\frac{3}{4}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpctnd: 18-10-2015 - 20:42


#2 lenhatsinh3

lenhatsinh3

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 86 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT An Nhơn 2
  • Sở thích:Pokemon, giải toán

Đã gửi 18-10-2015 - 21:14

 

5/Cho a,b,c>0 và abc=1, CMR: $\sum\frac{a^{3}}{(1+b)(1+c)}\geq\frac{3}{4}$

$\frac{a^{3}}{(1+b)(1+c)}+\frac{1+b}{8}+\frac{1+c}{8}\geqslant \frac{3a}{4}$

Tương tự với 2 hạng tử còn lại ta suy ra

$\sum \frac{a^{3}}{(1+b)(1+c)}\geq \frac{3(a+b+c)}{4}-\frac{a+b+c}{4}-\frac{3}{4}\geq \frac{9}{4}-\frac{3}{4}-\frac{3}{4}=\frac{3}{4}$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1


:ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:

      :ukliam2:

            :ukliam2:

                  :ukliam2:

             :ukliam2:

        :ukliam2:  

     :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:


#3 Minhnguyenthe333

Minhnguyenthe333

    Trung úy

  • Thành viên
  • 804 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:PTNK-ĐHQG TPHCM
  • Sở thích:$\rho h \gamma S\iota cS$

Đã gửi 18-10-2015 - 21:19

5/Cho a,b,c>0 và abc=1, CMR: $\sum\frac{a^{3}}{(1+b)(1+c)}\geq\frac{3}{4}$

$P=\sum \frac{a^{3}}{(1+b)(1+c)}\=\sum \frac{a^{4}}{(1+ab)(1+ac)}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{\sum (ab+1)(ac+1)}\geq \frac{(a+b+c)^4}{9(a+b+c)+6(a+b+c)^2+27}$
Ta có: $\frac{1}{P}=\frac{9}{(a+b+c)^3}+\frac{6}{(a+b+c)^2}+\frac{27}{(a+b+c)^4}\leq \frac{1}{3}+\frac{2}{3}+\frac{1}{3}=\frac{4}{3}$
$\Rightarrow P\geq \frac{3}{4}$.Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$

#4 Minhnguyenthe333

Minhnguyenthe333

    Trung úy

  • Thành viên
  • 804 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:PTNK-ĐHQG TPHCM
  • Sở thích:$\rho h \gamma S\iota cS$

Đã gửi 18-10-2015 - 21:25

3/ Cho a,b,c>0, tìm max $P=\sum\frac{a(b+c)}{a^{2}+(b+c)^{2}}$

$P\leq \sum \frac{a(b+c)}{2a(b+c)}=\frac{3}{2}$
Dấu "=" xảy ra khi $a=2b=2c$

#5 tpctnd

tpctnd

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 62 Bài viết

Đã gửi 18-10-2015 - 21:32

$P\leq \sum \frac{a(b+c)}{2a(b+c)}=\frac{3}{2}$
Dấu "=" xảy ra khi $a=2b=2c$

dấu "=" không xảy ra được em



#6 Minhnguyenthe333

Minhnguyenthe333

    Trung úy

  • Thành viên
  • 804 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:PTNK-ĐHQG TPHCM
  • Sở thích:$\rho h \gamma S\iota cS$

Đã gửi 18-10-2015 - 21:34

dấu "=" không xảy ra được em

vậy GTLN là gì ạ?






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh