Chủ đề này có 5 trả lời

[huonggiang121]

Cho a, b, c > 0 và $a+b+c= 3$. Chứng minh rằng:

$\frac{3+a^{2}}{b+c}+\frac{3+b^{2}}{c+a}+\frac{3+c^{2}}{a+b}\geq 6$

[Minhnguyenthe333]

Cho a, b, c > 0 và $a+b+c= 3$. Chứng minh rằng:
$\frac{3+a^{2}}{b+c}+\frac{3+b^{2}}{c+a}+\frac{3+c^{2}}{a+b}\geq 6$

$VT=3+\sum \frac{a}{b+c}+\sum \frac{a^2}{b+c}\geq 3+\frac{(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ca}+\frac{a+b+c}{2}\geq 3+\frac{3}{2}+\frac{3}{2}=6$ (theo $C-S$)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$

[Bui Ba Anh]

Cho a, b, c > 0 và $a+b+c= 3$. Chứng minh rằng:

$\frac{3+a^{2}}{b+c}+\frac{3+b^{2}}{c+a}+\frac{3+c^{2}}{a+b}\geq 6$

Bài này dùng Chebyshev khá đẹp 

Do bất đẳng thức đối xứng nên k mất tổng quát giả sử $a \geq b \geq c$

Khi đó $\dfrac{1}{b+c} \geq \dfrac{1}{a+c} \geq \dfrac{1}{a+b}$

Áp dụng bất đẳng thức Chebyshev cho hai dãy đơn điệu cùng chiều, ta có được:

$VT \geq \dfrac{1}{3}.(3+\sum a^2)(\sum \dfrac{1}{b+c})$

Dề thấy đpcm vì $\sum a^2 \geq 3$ và $\sum \dfrac{1}{b+c} \geq \dfrac{3}{2}$

[lenhatsinh3]

$\sum \frac{3+a^{2}}{b+c}=\sum \frac{3}{b+c}+\sum \frac{a^{2}}{b+c}\geq \frac{(3\sqrt{3})^{2}}{2(a+b+c)}+\frac{(a+b+c)^{2}}{2(a+b+c)}=\frac{9}{2}+\frac{3}{2}=6$

đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lenhatsinh3: 19-10-2015 - 12:36

[lenhatsinh3]

$\sum \frac{3+a^{2}}{b+c}=\sum \frac{3+a^{2}}{3-a}\geq 6=2(a+b+c)\Leftrightarrow \sum (\frac{3+a^{2}}{3-a}-2a)\geq 0 \Leftrightarrow \sum \frac{3(a-1)^{2}}{3-a}\geq 0$

bất đẳng thức luôn đúng vì 0<a,b,c<3

đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1

[huonggiang121]

$\sum \frac{3+a^{2}}{b+c}=\sum \frac{3}{b+c}+\sum \frac{a^{2}}{b+c}\geq \frac{(3\sqrt{3})^{2}}{2(a+b+c)}+\frac{(a+b+c)^{2}}{2(a+b+c)}=\frac{9}{2}+\frac{3}{2}=6$

đẳng thức xảy ra khi a=b=c=2

Đẳng thức xảy ra phải là a=b=c=1 chứ