Chủ đề này có 1 trả lời

[huonggiang121]

Cho a, b, c>0 và $a+b+c\leq \sqrt{3}$. CMR:

$\frac{a}{\sqrt{a^{2}+1}}+\frac{b}{\sqrt{b^{2}+1}}+\frac{c}{\sqrt{c^{2}+1}}\leq \frac{3}{2}$

[royal1534]

Ta có $(a+b+c)^{2} \geq 3(ab+bc+ca)$ 

 $\Leftrightarrow 3 \geq 3(ab+bc+ca)$

$ \Leftrightarrow ab+bc+ca \leq 1 $

$\Rightarrow \frac{a}{\sqrt{a^{2}+1}} \leq \frac{a}{\sqrt{a^{2}+ab+bc+ca}}$$=\frac{a}{\sqrt{(a+c)(a+b)}} \leq \frac{1}{2}(\frac{a}{a+c}+\frac{a}{a+b})$

Thiết lập các bđt tương tự và cộng lại ta có $\sum \frac{a}{\sqrt{a^{2}+1}} \leq \frac{1}{2}.\sum (\frac{a}{a+c}+\frac{c}{a+c})=\frac{3}{2}$

Dấu '=' xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=\frac{\sqrt{3}}{3}$