(Siêu Khó)
Tìm n tự nhiên sao cho a, b là 2 ước nguyên tố cùng nhau của n thì a+b-1 cũng là ước của n
(Siêu Khó)
Tìm n tự nhiên sao cho a, b là 2 ước nguyên tố cùng nhau của n thì a+b-1 cũng là ước của n
Nếu bạn muốn đến nơi cao nhất, phải học cách bắt đầu từ nơi thấp nhất!
(Siêu Khó)
Tìm n tự nhiên sao cho a, b là 2 ước nguyên tố cùng nhau của n thì a+b-1 cũng là ước của n
Nhận thấy nếu $n$ chỉ có 1 ước số nguyên tố thì luôn thoả mãn, tức $n=p^{k}$ với $p$ là số nguyên tố là 1 nghiệm của bài
Giả sử $n$ có ít nhất 2 ước số nguyên tố, đặt $n=\prod_{i=1}^{k}p_i^{\alpha_i}$ với $p_1<\dots<p_k$ là các số nguyên tố, $\alpha_i>0, k>1$
Xét $a=p_1, b=\prod_{i=2}^{k}p_i^{\alpha_i}$, ta có $a+b-1=\prod_{i=2}^{k}p_i^{\alpha_i}+p_1-1$ là ước của $n$ và do đó có thể biểu diễn
$\prod_{i=2}^{k}p_i^{\alpha_i}+p_1-1=\prod_{i=1}^{k}p_i^{\beta_i}$
Nếu tồn tại $\beta_i > 0$ với $i>1$ thì suy ra $p_1-1$ chia hết cho $p_i$, điều này là vô lý
Suy ra $\beta_i=0$ với mọi $i>1$, tức $\prod_{i=2}^{k}p_i^{\alpha_i}+p_1-1=p_1^{\beta_1} \leftrightarrow n=p_1^{\alpha_1}(p_1^{\beta_1}-p_1+1)$
Đến đây ta dễ nhận thấy $\alpha_1\geq\beta_1\geq \alpha_2+\dots+\alpha_k+1\geq 2$
Tiếp theo xét $a=p_1^{\beta_1}-p_1+1, b=p_1^2$ ta có $p_1^{\beta_1}-p_1+p_1^2$ là ước của $n$
suy ra $p_1^{\beta_1-1}-1+p_1$ là ước của $p_1^{\beta_1}-p+1 \leftrightarrow p_1^2-1 = t(p_1^{\beta_1-1}+p_1-1)$ với $t$ là số tự nhiên
Nếu $\beta_1>2$ thì nhận thấy không thoả mãn, do đó $\beta_1=2$ và ta có $p_1^2-1=t(2p_1-1)$
Đến đây thì đơn giản, vì $(p_1-1,2p_1-1)=1$ nên $p_1+1$ chia hết cho $2p_1-1$, tức $p_1\leq2$
Với $p_1=2,\beta_1=2$ ta có $n=3\times2^{\alpha}$
Nếu $\alpha>2$ xét tiếp với $a=8,b=3$ suy ra $a+b-1=10$ là ước của $n$, điều này không thoả mãn
Vậy $\alpha=2$ và tập các số $n$ thoả mãn là $\{1,12,p^k\}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tanlsth: 20-10-2015 - 16:13
Learn from yesterday,live for today,hope for tomorrow
The important thing is to not stop questioning
Nhận thấy nếu $n$ chỉ có 1 ước số nguyên tố thì luôn thoả mãn, tức $n=p^{k}$ với $p$ là số nguyên tố là 1 nghiệm của bài
Giả sử $n$ có ít nhất 2 ước số nguyên tố, đặt $n=\prod_{i=1}^{k}p_i^{\alpha_i}$ với $p_1<\dots<p_k$ là các số nguyên tố, $\alpha_i>0, k>1$
Xét $a=p_1, b=\prod_{i=2}^{k}p_i^{\alpha_i}$, ta có $a+b-1=\prod_{i=2}^{k}p_i^{\alpha_i}+p_1-1$ là ước của $n$ và do đó có thể biểu diễn
$\prod_{i=2}^{k}p_i^{\alpha_i}+p_1-1=\prod_{i=1}^{k}p_i^{\beta_i}$
Nếu tồn tại $\beta_i > 0$ với $i>1$ thì suy ra $p_1-1$ chia hết cho $p_i$, điều này là vô lý
Bạn giải kĩ phần vô lí này với @@, cảm ơn rất nhiều
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anhminhnam: 20-10-2015 - 17:02
Nếu bạn muốn đến nơi cao nhất, phải học cách bắt đầu từ nơi thấp nhất!
Bạn giải kĩ phần vô lí này với @@, cảm ơn rất nhiều
@@
Nếu tồn tại $\beta_i>0$ với $i>1$ thì ta có $\prod_{i=1}^{k}p_i^{\beta_i}$ và $\prod_{i=2}^{k}p_i^{\alpha_i}$ đều chia hết cho $p_i$,
do đó $p_1-1$ cũng phải chia hết cho $p_i$, mà do $p_i>p_1>p_1-1$ nên vô lý
@@
Learn from yesterday,live for today,hope for tomorrow
The important thing is to not stop questioning
À vầy cho mình hỏi phần mũ B >2 không thỏa mãn là vì sao vầy ) Chỉ còn phần đó thôi.
Nếu bạn muốn đến nơi cao nhất, phải học cách bắt đầu từ nơi thấp nhất!
À vầy cho mình hỏi phần mũ B >2 không thỏa mãn là vì sao vầy ) Chỉ còn phần đó thôi.
Cái này không phải là hiển nhiên sao
Learn from yesterday,live for today,hope for tomorrow
The important thing is to not stop questioning
Ta gọi "số tốt" nếu nó thỏa mãn đề bài cho . Nhận xét rằng tất cả các lũy thừa số nguyên tố là "số tốt" . Giả sử $n$ là "số tốt" có hai thừa số nguyên tố phân biệt và chúng nhỏ nhất. Đặt $n=p^rs$ với $p$ là số nguyên tố nhỏ nhất chia hết $n$ và $(s,p)=1$ . Vì $n$ là "số tốt" nên $p+s-1$ phải chia hết cho $n$ . Với mỗi số nguyên tốt $q$ sao cho $q|s$ ,$s<s+p-1<s+q$ vì vậy $q \not | p+s-1$ . Do đó chỉ có thừa số nguyên tố của $p+s-1$ là $p$ thế thì $s=p^c-p+1$ với mọi $c>1$ . Bởi vì $p^c|n,p^c+s-1=2p^c-p |n$ . Bởi vì $(2p^{c-1}-1,p)=1$ suy ra nó phải chia hết $s$. Nhưng mà : $\frac{p-1}{2}<\frac{p^c-p+1}{2p^{c-1}-1}<\frac{p+1}{2}$, do đó $2p^{c-1}-1 \not |s$
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh