Chủ đề này có 7 trả lời

[minhhien2001]

1.Chứng minh bât đắt thức  Buniacoski mở rộng :$(a^2+b^2+c^2+...g^2)(x^2+y^2+..k^2)\geqslant (ax+by+cz+...gk)^2$
2/ C/m Cosi mở rộng : $a+b+c+...n\geqslant n\sqrt[n]{a.b.c...n}$

[12345678987654321123456789]

Ta có

$\left | ax+by+cz+...+gk \right |\leq \left | ax \right |+\left | by\right |+\left | cz \right |+...+\left | gk \right |$

$\left ( ax+by+cz+...+gk \right )^{2}\leq \left(\left | ax \right |+\left | by\right |+\left | cz \right |+...+\left | gk \right |\right)^{2}$$(1)$

Mặt khác

$\frac{2\left|ax\right|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}+...+g^{2}}\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}+...+k^{2}}}\leq \frac{a^{2}}{a^{2}+b^{2}+...+g^{2}}+\frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}+...+k^{2}}$

nên

$\frac{2\left(\left|ax\right|+\left|by\right|+\left|cz\right|+...+\left|gk\right|\right)}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}+...+g^{2}}\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}+...+k^{2}}}\leq 2$

$\Leftrightarrow $$\left|ax\right|$$+\left|by\right|$$+\left|cz\right|$$+...+\left|gk\right|$$\leq$$\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}+...+g^{2}}\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}+...+k^{2}}$

$\Leftrightarrow \left(\left|ax\right|+\left|by\right|+\left|cz\right|+...+\left|gk\right|\right)^{2}\leq\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}+...+g^{2}\right)\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}+...+k^{2}\right)$$(2)$

Từ $(1)$ và $(2)\Rightarrow$ đpcm

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 12345678987654321123456789: 21-10-2015 - 17:11

[minhhien2001]

Ta có

$\left | ax+by+cz+...+gk \right |\leq \left | ax \right |+\left | by\right |+\left | cz \right |+...+\left | gk \right |$

$\left ( ax+by+cz+...+gk \right )^{2}\leq \left(\left | ax \right |+\left | by\right |+\left | cz \right |+...+\left | gk \right |\right)^{2}$$(1)$

Mặt khác

$\frac{2\left|ax\right|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}+...+g^{2}}\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}+...+k^{2}}}\leq \frac{a^{2}}{a^{2}+b^{2}+...+g^{2}}+\frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}+...+k^{2}}$

nên

$\frac{2\left(\left|ax\right|+\left|by\right|+\left|cz\right|+...+\left|gk\right|\right)}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}+...+g^{2}}\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}+...+k^{2}}}\leq 2$

$\Leftrightarrow $$\left|ax\right|$$+\left|by\right|$$+\left|cz\right|$$+...+\left|gk\right|$$\leq$$\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}+...+g^{2}}\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}+...+k^{2}}$

$\Leftrightarrow \left(\left|ax\right|+\left|by\right|+\left|cz\right|+...+\left|gk\right|\right)^{2}\leq\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}+...+g^{2}\right)\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}+...+k^{2}\right)$$(2)$

Từ $(1)$ và $(2)\Rightarrow$ đpcm

bạn ơi ơ chỗ mặt khác mình ko hiểu lminhf nghĩ nó chi đúng khi:  kh$\geq 0,5$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhhien2001: 21-10-2015 - 23:59

[le truong son]

Trong sách Nâng cao và phát triển toán 9 có hướng dẫn chứng minh, bạn nên tham khảo sách

[bvptdhv]

2/ C/m Cosi mở rộng : $a+b+c+...n\geqslant n\sqrt[n]{a.b.c...n}$

câu 2 em chứng minh bằng quy nạp nhé

[12345678987654321123456789]

bạn ơi ơ chỗ mặt khác mình ko hiểu lminhf nghĩ nó chi đúng khi:  kh$\geq 0,5$

Mình không hiểu lắm. Mình dùng Cauchy cho 2 số dương: $\frac{\left | a \right |}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+...+g^{2}}}$ và $\frac{\left | x \right |}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+...+k^{2}}}$

[OiDzOiOi]

Trong sách Nâng cao và phát triển toán 9 có hướng dẫn chứng minh, bạn nên tham khảo sách

BĐT Cauchy mở rộng giải cách khác sánh nè:

 

Với n=2 thì mệnh đề luôn đúng

Giả sử mệnh đề đúng với n=k khi đó

$a_{1}+a_{2}+...+a_{k}\geqslant n\sqrt[n]{a_{1}a_{2}...a_{k}}$

Ta chứng minh được mệnh đề cũng đúng với n=2k. Thật vậy:

$(a_{1}+a_{2}+...+a_{k})+(a_{k+1}+a_{k+2}+...+a_{2k})\geq k\sqrt[k]{a_{1}a_{2}...a_{k}}+k\sqrt[k]{a_{k+1}a_{k+2}...a_{2k}}\geqslant 2\sqrt{k^{2}\sqrt[k]{a_{1}a_{2}...a_{2k}}}=2k\sqrt[2k]{a_{1}a_{2}...a_{2k}}$

Khi đó :

$a_{1}+a_{2}+...+a_{k+1}+(k-1)\sqrt[k+1]{a_{1}a_{2}...a_{k+1}}\geqslant 2k\sqrt[2k]{a_{1}a_{2}...a_{k+1}.\sqrt[k+1]{a_{1}a_{2}...a_{k+1}}^{k-1}}=2k\sqrt[2k]{\sqrt[k+1]{a_{1}a_{2}...a_{k+1}}^{2k}}=2k\sqrt[k+1]{a_{1}a_{2}...a_{k+1}}$

$\Rightarrow a_{1}+a_{2}+...+a_{k+1}\geqslant (k+1)\sqrt[k+1]{a_{1}a_{2}...a_{k+1}}$ 

Do  đó mệnh đề đúng với n=k+1 =>đpcm

[le truong son]

 

Đều từ trong sách mà ra cả

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi le truong son: 26-10-2015 - 22:20