Chủ đề này có 1 trả lời

[quynhly]

1, Cho x,y,z là ba số thực dương thỏa mãn $x+y+z=\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}$

  chứng minh x=y=z

2,Cho $a_{1},a_{2},....,a_{n}$ là các số dương và $a_{1}.a_{2}...a_{n}=1$

 chứng mnh rằng $(1+a_{1})(1+a_{2})......(1+a_{n})\geqslant 2^{n}$

[NAGATOPain]

1. Áp dụng bất đẳng thức AM - GM, ta có : 

$x+y\geq 2\sqrt{xy}$ ; $y+z\geq 2\sqrt{yz}$ ; $x+z\geq 2\sqrt{xz}$ 

Cộng vế với vế : $2(x+y+z)\geq 2\sqrt{xy}+ 2\sqrt{yz}+2\sqrt{xz}$ $\Leftrightarrow x+y+z\geq \sqrt{xy}+ \sqrt{yz}+\sqrt{xz}$

Đẳng thức xảy ra khi x = y = z

=> ĐPCM.

2. Áp dụng bất đẳng thức AM - GM cho 2 số dương : 

$\prod_{i=1}^{n}(1+a_i) \geq \prod_{i=1}^{n}2\sqrt{a_i} = 2^n.\prod_{i=1}^{n} \sqrt{a_i}$

mà $a_1.a_2...a_n = 1$ => VP = $2^n$

Ta được ĐPCM

Đẳng thức xảy ra khi a1 = a2 = ... = an = 1