Chủ đề này có 3 trả lời

[longatk08]

Cho $x,y,z$ thực dương thỏa mãn $xy+yz+xz=1$. Chứng minh rằng:

 

$$\frac{x^2+1}{x^2+2yz+1}+\frac{y^2+1}{y^2+2xz+1}+\frac{z^2+1}{z^2+2xy+1}\geq 2$$

 

Spoiler

Insipred by Mr.Can one.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi longatk08: 24-10-2015 - 23:10

[Nguyenhuyen_AG]

Cho $x,y,z$ thực dương thỏa mãn $xy+yz+xz=1$. Chứng minh rằng:

 

$$\frac{x^2+1}{x^2+2yz+1}+\frac{y^2+1}{y^2+2xz+1}+\frac{z^2+1}{z^2+2xy+1}\geq 2$$

 

Spoiler

Insipred by Mr.Can one.

 

Ta thuần nhất bất đẳng thức lại dưới dạng

\[\sum \frac{(x+y)(x+z)}{(x+y)(x+z)+2yx} \geqslant 2.\]

Chuyển về $p,\,q,\,r$ như sau

\[\frac{27r^2+(4p^3-30pq)r+7p^2q^2}{27r^2+(4p^3-18pq)r+3p^2q^2} \geqslant 2,\]

tương đương với

\[-27r^2+(6pq-4p^3)r+p^2q^2 \geqslant 0,\]

hay là

\[\big[p^2q^2-4q^4+2p(9q-2p^2)r-27r^2\big]+4q(q^2-3pr) \geqslant 0,\]

hoặc

\[(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2+4q(q^2-3pr) \geqslant 0.\]

Vậy ta có điều phải chứng minh.

[longatk08]

Cách của anh Huyện thì em biết vì đây cũng là lời giải ban đầu của em, em vẫn đang tìm 1 lời giải khác bằng C-S 

[Nguyenhuyen_AG]

Cho $x,y,z$ thực dương thỏa mãn $xy+yz+xz=1$. Chứng minh rằng:

 

$$\frac{x^2+1}{x^2+2yz+1}+\frac{y^2+1}{y^2+2xz+1}+\frac{z^2+1}{z^2+2xy+1}\geq 2$$

 

Spoiler

Insipred by Mr.Can one.

 

Hiện tại anh vẫn chưa tìm được lời giải bằng Cauchy-Schwarz, nhưng anh nghĩ đây là lời giải ngắn nhất cho bài toán này.

Ta cũng thuần nhất bài toán về dạng

\[\sum \frac{(y+z)(z+x)}{(y+z)(z+x)+2xy} \geqslant 2.\]

Chú ý rằng

\[\sum \frac{z(x+y)}{xy+yz+zx} = 2,\]

và \[\frac{(y+z)(z+x)}{(y+z)(z+x)+2xy}-\frac{z(x+y)}{xy+yz+zx} = \frac{1}{xy+yz+zx} \cdot \frac{xy(x-z)(y-z)}{(y+z)(z+x)+2xy},\] nên bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

\[\sum \frac{xy(x-z)(y-z)}{(y+z)(z+x)+2xy} \geqslant 0.\]

Giả sử $z=\max\{x,\,y,\,z\}$ thì \[\begin{aligned}\sum \frac{xy(x-z)(y-z)}{(y+z)(z+x)+2xy} & \geqslant \frac{yz(y-x)(z-x)}{(z+x)(x+y)+2yz}+\frac{zx(z-y)(x-y)}{(x+y)(y+z)+2zx} \\& =\frac{z(x-y)^2\big[x^2(z-y)+y^2(z-x)+z^2(x+y)+4xyz\big]}{[(z+x)(x+y)+2yz][(x+y)(y+z)+2zx]} \geqslant 0.\end{aligned}\] Vậy ta có điều phải chứng minh.