Chủ đề này có 2 trả lời

[Dung Du Duong]

Cho 3 số a,b,c > 0. CMR: $\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \geq \frac{b+c}{a+c} + \frac{a+b}{c+b} + \frac{a+c}{a+b}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dung Du Duong: 28-10-2015 - 20:18

[phamngochung9a]

Cho 3 số a,b,c > 0. CMR: $\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \geq \frac{b+c}{a+c} + \frac{c+a}{c+b} + \frac{a+b}{a+c}$

BĐT trên sai với $a=1;b=86;c=2$

Hình như đề là

$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{a+c}{b+c}+\frac{b+a}{c+a}+\frac{c+b}{a+b}$

Ta biến đổi về cm

$\sum \left ( \frac{a}{b}-\frac{a}{b+c} \right )\geq \frac{c}{b+c}+\frac{a}{c+a}+\frac{b}{a+b}\Leftrightarrow \sum \frac{ac}{b(b+c)}\geq \sum \frac{c}{b+c}$

Đặt $\frac{a}{b}=x;\frac{b}{c}=y;\frac{c}{a}=z$, BĐT trở thành:

$\frac{x}{y+1}+\frac{y}{z+1}+\frac{z}{x+1}\geq \frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\Leftrightarrow xy^{2}+yz^{2}+zx^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq 3+x+y+z$

Mặt khác, ta có $xyz=1$ nên $xy^{2}+yz^{2}+yz^{2}\geq 3\sqrt[3]{x^{2}y^{2}z^{2}}=3\\x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq \frac{1}{3}(x+y+x)^{2}\geq \frac{1}{3}.3\sqrt[3]{xyz}.(x+y+z)=x+y+z$

Cộng từng vế suy ra ĐPCM

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 26-10-2015 - 21:49

[Dung Du Duong]

BĐT trên sai với $a=1;b=86;c=2$

Hình như đề là

$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{a+c}{b+c}+\frac{b+a}{c+a}+\frac{c+b}{a+b}$

Ta biến đổi về cm

$\sum \left ( \frac{a}{b}-\frac{a}{b+c} \right )\geq \frac{c}{b+c}+\frac{a}{c+a}+\frac{b}{a+b}\Leftrightarrow \sum \frac{ac}{b(b+c)}\geq \sum \frac{c}{b+c}$

Đặt $\frac{a}{b}=x;\frac{b}{c}=y;\frac{c}{a}=z$, BĐT trở thành:

$\frac{x}{y+1}+\frac{y}{z+1}+\frac{z}{x+1}\geq \frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\Leftrightarrow xy^{2}+yz^{2}+zx^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq 3+x+y+z$

Mặt khác, ta có $xyz=1$ nên $xy^{2}+yz^{2}+yz^{2}\geq 3\sqrt[3]{x^{2}y^{2}z^{2}}=3\\x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq \frac{1}{3}(x+y+x)^{2}\geq \frac{1}{3}.3\sqrt[3]{xyz}.(x+y+z)=x+y+z$

Cộng từng vế suy ra ĐPCM

xin lỗi bạn , mình nhầm