Chủ đề này có 2 trả lời

[duong7cvl]

GPT: $x+\frac{3x}{\sqrt{x^2-9}}=6\sqrt{2}$

[royal1534]

Đk: $x \geq 3$ hoặc $x \leq -3$

Nếu $x \leq -3$ thì $VT<0<VP$

$\rightarrow$ $x \geq 3$ 

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:

$x+\frac{3x}{\sqrt{x^{2}-9}} \geq 2 \sqrt{\frac{3x^{2}}{\sqrt{x^{2}-9}}}$ 

Ta sẽ chứng minh $\frac{3x^{2}}{\sqrt{x^{2}-9}} \geq 18$

                     $\leftrightarrow    3x^{2} \geq 18 \sqrt{x^{2}-9}$

                   $ \leftrightarrow 3(x^{2}-6\sqrt{x^{2}-9}) \geq 0$

                    $\leftrightarrow 3(\sqrt{x^{2}-9}-3)^{2} \geq 0$:Đúng

$\rightarrow x+\frac{3x}{\sqrt{x^{2}-9}} \geq 2 \sqrt{\frac{3x^{2}}{\sqrt{x^{2}-9}}} \geq 2 \sqrt{18}=6\sqrt{2} $

Dấu '=' xảy ra khi $\sqrt{x^{2}-9}-3=0 \leftrightarrow x^{2}=18 \leftrightarrow x=3\sqrt{2}$ (Vì $x>3$)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi royal1534: 28-10-2015 - 06:10

[CHU HOANG TRUNG]

GPT: $x+\frac{3x}{\sqrt{x^2-9}}=6\sqrt{2}$

Đặt $x=\frac{3}{\sin t } , t\in\left [ -\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} \right ]$

 

Khi đó ta có phương trình :

$\frac{3}{\sin t}+\frac{3}{\cos t}=6\sqrt{2}\Leftrightarrow \sin t +\cos t=2\sqrt{2}\sin t \cos t$

Đặt $\sin t +\cos t=u,\left | u \right |\leq \sqrt{2}$

Khi đó ta có phương trình $u=\sqrt{2}(u^2-1)$

$\Leftrightarrow u=\sqrt{2}\vee u=-\frac{\sqrt{2}}{2}$

Với $u=\sqrt{2}\Leftrightarrow t=\frac{\pi}{4}\Leftrightarrow x=3\sqrt{2}$

Với $u=-\frac{\sqrt{2}}{2}\Leftrightarrow t=-\frac{5\pi}{12}\Leftrightarrow x=3\sqrt{2}-3\sqrt{6}$

Vì $x< 3 \Rightarrow VT<0<VP$ nên điều kiện phương trình phải là $x> 3$

Khi đó nghiệm của phương trình là $x=3\sqrt{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi CHU HOANG TRUNG: 31-10-2015 - 01:42