Ðề thi vào lớp 10 chuyên Toán-Tin trường PTNK ÐHQG TP.HCM
Năm học 1997-1998
Vòng 1
Bài 1:Chứng minh rằng, nếu $\large xyz=1$ thì : $\large \dfrac{1}{1+x+xy}+\dfrac{1}{1+y+yz}+\dfrac{1}{1+z+zx}=1$ .
Bài 2:
Cho phương trình $\large (m+2)x^2-(2m-1)x-3+m=0$.
a) Chứng minh rằng phương trình có nghiệm với mọi m.
b) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phương trình có hai nghiệm phân biệt $\large x_1,x_2$. Khi đó hãy tìm giá trị của m để nghiệm này gấp hai lần nghiệm kia .
Bài 3:
Hai thị trấn A và B cùng nằm trên một dòng sông cách nhau D km. Thị trấn B có địa thế cao hơn nên dòng nước luôn chảy từ B đến A với vận tốc d (km/h) không đổi. Nếu nước không chảy, tàu Hy Vọng với vận tốc x (km/h) không đổi, tàu Tương Lai có vận tốc y (km/h) không đổi. Vào lúc 8 giờ sáng tàu Hy Vọng xuất phát từ A đi về hướng B và tàu Tương Lai xuất phát từ B đi về hướng A . Vào lúc 12 giờ trưa, hai tàu gặp nhau lần đầu tiên tại một điểm cách A có khoảng cách là $\large \dfrac{D}{3}$. Khi đến A, tàu Tương Lai nghỉ nữa giờ rồi quay về B, tương tự khi đến B tàu Hy Vọng cũng nghỉ nửa giờ rồi quay về A. Hai tàu gặp nhau lần thứ hai tại một điểm cách B có khoảng cách là $\large \dfrac{5D}{27}$. Hãy tìm vận tốc của tàu Hy Vọng và tàu Tương Lai biết rằng nếu ngay từ đầu, , mỗi tàu tăng vận tốc lên 7,5 km/h thì hai tàu sẽ gặp nhau lần đầu vào lúc 11 giờ trưa.
Bài 4:
Hai đường tròn tiếp xúc ngoài với nhau tại điểm D. Từ một điểm A bất kì nằm trên đường tròn thứ nhất kẻ tiếp tuyến của đường tròn thứ nhất cắt đường tròn thứ hai tại điểm B và C. Chứng minh rằng điểm A cách đều hai đường thẳng BD và CD.
Bài 5:
Số nguyên A được tạo thành bằng các chữ viết liền nhau các số nguyên dương từ 1 đến 60 theo thứ tự từ nhỏ đến lớn : A=123...585960 .
a) Hãy chỉ ra cách xóa 100 chữ số của A sao cho số $\large A_1$ tạo bởi các chữ số còn lại là nhỏ nhất .
b) Hãy chỉ ra cách xóa 100 chữ số của A sao cho số $\large A_2$ tạo bởi các chữ số còn lại là lớn nhất .
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 13-05-2009 - 11:01