Chủ đề này có 1 trả lời

[buibichlien]

Cho $a,b,c$ thực thỏa mãn:
$\left\{\begin{matrix} a\leq b\leq c & & \\ a+b+c=6& & \\ ab+bc+ca=9& & \end{matrix}\right.$
Chứng minh rằng: $0\leq a\leq 1\leq b\leq 3\leq c\leq 4$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HappyLife: 03-11-2015 - 19:45

[royal1534]

Cho $a,b,c$ thực thỏa mãn:
$\left\{\begin{matrix} a\leq b\leq c & & \\ a+b+c=6& & \\ ab+bc+ca=9& & \end{matrix}\right.$
Chứng minh rằng: $0\leq a\leq 1\leq b\leq 3\leq c\leq 4$

Nhớ được 1 lời giải man mán thế này

Theo bất đẳng thức AM-GM ta có:

$c(6-c)=c(a+b)=ac+bc=9-ab \geq 9-\frac{(a+b)^{2}}{2}=\frac{36-(6-c)^{2}}{2}$

Từ đó $\rightarrow c \leq 4$.Dấu '=' không xảy ra vì $a<b$ do đó $c<4$

Ta có $(b-a)(b-c)<0$

$\rightarrow b^{2}+9<2b(a+c)=2b(6-b)$

$\rightarrow (b-1)(b-3)<0$

$\rightarrow 1<b<3$

Tương tự ta cũng có $1<c<3;1<a<3$

Do $c>b>1$ nên $c>3$

   $a<b<3$ nên $a<1$

Vậy ta có $0<a<1<b<3<c<4$