Chủ đề này có 7 trả lời

[santo3vong]

Cho ba số $x,y,z$ không âm và $x+y+z=1$ . Tìm giá trị nhỏ nhất:

$P={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+4xyz$ 

[royal1534]

Cho ba số $x,y,z$ không âm và $x+y+z=1$ . Tìm giá trị nhỏ nhất:

$P={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+4xyz$ 

Bạn tham khảo ở đây

[Kira Tatsuya]

bài này bạn có thể dùng tính chất của hàm số bậc nhất, không biết đúng không:

không mất tính tổng quát, giả sử $x \geq y \geq z$, khi đó $x \geq \frac{1}{3}; y+z \leq \frac{2}{3};\\$

khi đó $P= x^2 + y^2 +z^2 + 4xyz =(x+y+z)^2-2(xy+yz+zx)+4xyz\\=1+2x(2yz-y-z)-2yz$.

đặt $f(x)=2x(2yz-y-z)-2yz+1$

xét $2yz-y-z=0$, khi đó $2yz=y+z\leq 2.\frac {(y+z)^2}{4}\Leftrightarrow (y+z) \leq \frac{(y+z)^2}{2}\Leftrightarrow (y+z)^2-2(y+z)\geq 0\Leftrightarrow (y+z)\geq 2; (y+z)\leq 0$; mà $0\leq (y+z)\leq\frac{2}{3}$ nên $2yz-y-z\neq 0$, xét $f(\frac{1}{3})= \frac{-2}{3}.(y+z+yz)+1\geq\frac{-2}{3}.(\frac{2}{3}+\frac{(y+z)^2}{4})+1\geq\frac{13}{27}$, đạt $min = \frac{13}{27}$, tương tự tại $x=1$ thì  $f(1)=1$ đạt $min = 1$.

mà do hàm bậc nhất, có dạng đường thằng, nên min hoặc max luôn ở tại biên (thì phải ) nên giá trị nhỏ nhất là $\frac{13}{27}$ tại $x=y=z=\frac{1}{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kira Tatsuya: 03-11-2015 - 18:07

[Tuan Duong]

theo BĐT bunhiacopxci cho 3 số không âm: 
(x+y+z)^2<=(1+1+1)(x^2+y^2+z^2) 
suy ra x^2+y^2+z^2>=1/3 (1) 
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi 
{x=y=z
{x+y+z=1 
suy ra x=y=z=1/3 
theo bdt co si: 
xyz=<(x+y+z)/2 
suy ra xyz=<1/2 
suy ra 4xyz=<2 
dau = xay ra khi va chi khi 
{x=y=z 
{x+y+z=1 
suy ra x=y=z=1/3 (2) 
tu (1) va (2) suy ra min=1/3+2=7/3 
khi x=y=z=1/3

[santo3vong]

theo BĐT bunhiacopxci cho 3 số không âm: 
(x+y+z)^2<=(1+1+1)(x^2+y^2+z^2) 
suy ra x^2+y^2+z^2>=1/3 (1) 
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi 
{x=y=z
{x+y+z=1 
suy ra x=y=z=1/3 
theo bdt co si: 
xyz=<(x+y+z)/2 
suy ra xyz=<1/2 
suy ra 4xyz=<2 
dau = xay ra khi va chi khi 
{x=y=z 
{x+y+z=1 
suy ra x=y=z=1/3 (2) 
tu (1) va (2) suy ra min=1/3+2=7/3 
khi x=y=z=1/3

bạn ơi cái chỗ xyz=<(x+y+z)/2 hình như không đúng đâu bạn, mà GTNN cũng không phải luôn rồi, không tin bạn cứ thế x,y,z=1/3 vào phương trình ban đầu thử xem

[Tuan Duong]

mình chỉ copy ở đây thoy chứ chưa kịp xem mong bạn thông cảm 

[santo3vong]

cảm ơn bạn đã quan tâm đến chủ đề, nhưng lần sau có đăng cũng nên quan tâm đến nội dung chút nhé

[superpower]

Cho ba số $x,y,z$ không âm và $x+y+z=1$ . Tìm giá trị nhỏ nhất:

$P={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+4xyz$ 

Vẫn ý tưởng cũ, sẽ dùng pqr

Đặt $x+y+z=p, xy+yz+xz=q, xyz=r $

Theo đề bài ta có $p=1$

Dự đoán dấu bằng xảy ra khi $x=y=z= \frac{1}{3}$

Do đó, ta sẽ chứng minh $P \geq \frac{13}{27} $

Ta có $P= p^2 -2q+ 4r \geq \frac{13}{27}$

          $<=> 1-2q+4r \geq \frac{13}{27}$

          $<=> r \geq \frac{2q-\frac{14}{27}}{4} $

Mặt khác theo bất đẳng thức Schur bậc 3, ta có

          $r  \geq \frac{4q-1}{9} $

Do đó, ta cần chứng minh

 $  \frac{4q-1}{9} \geq \frac{2q-\frac{14}{27}}{4} $

 $ <=> \frac{1}{3} \geq q $  (Đúng theo AM-GM)

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Dấu bằng xảy ra khi $x=y=z= \frac{1}{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi superpower: 15-12-2015 - 23:14