Chủ đề này có 1 trả lời

[phamngochung9a]

Cho các số thực $a,b,c$ thỏa mãn $abc=-1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của:

$P=\left ( \left | ab \right |+\left | bc \right |+\left | ca \right | \right )\left ( 15\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}-7a-7b-7c \right )$

[anhxtanh1879]

Cho các số thực $a,b,c$ thỏa mãn $abc=-1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của:

$P=\left ( \left | ab \right |+\left | bc \right |+\left | ca \right | \right )\left ( 15\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}-7a-7b-7c \right )$

Vì $abc< 0$ ta xét 2 TH:

TH1: Cả 3 số $a, b, c$ đều âm

Ta có: $\left | ab \right |+\left | bc \right |+\left | ca \right |\geq 3\sqrt[3]{a^{2}b^{2}c^{2}}=3$

$15\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}-7(a+b+c)\geq 15\sqrt{\sqrt[3]{a^{2}b^{2}c^{2}}}+7.3\sqrt[3]{-abc}=15\sqrt{3}+21> 48$

TH2: Trong 3 số $a, b, c$ có 1 số âm, 2 số dương

Gs $a< 0, b> 0, c> 0$

Đặt $a_{1}=-a> 0\Rightarrow a_{1}bc=1$

Ta có: $\sqrt{a_{1}^{2}+b^{2}+c^{2}}\geq \dfrac{2b+2c+a_{1}}{\sqrt{2^{2}+2^{2}+1}}\Rightarrow 3\sqrt{a_{1}^{2}+b^{2}+c^{2}}\geq 2b+2c+a_{1}$

$\left | ab \right |+\left | bc \right |+\left | ca \right |=\dfrac{1}{a_{1}}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}$

$\Rightarrow P\geq \left ( \frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )\left ( 5(2b+2c+a_{1})-7(b+c-a_{1}) \right )=3\left ( \frac{1}{a_{1}}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c} \right )(4a_{1}+b+c)\geq 3(1.2+1.1+1.1)^{2}=48$

Dấu = xảy ra$\Leftrightarrow b=c=2a_{1} và a_{1}bc=1$

$\Leftrightarrow b=c=\sqrt[3]{2}, a=-\dfrac{\sqrt[3]{2}}{2}$