Chủ đề này có 4 trả lời

[Cauchy11]

1. Cho a,b,c > 0 thỏa mãn ab+bc+ca=3abc

CMR: a²b + b²c + c²a + 3 $\geqslant$ 2(a+b+c)

2. a,b,c $\in$ $\mathbb{R}$, a+b+c=0.

CMR: $\frac{(2a+1)^{2}}{2a^{2}+1}+\frac{(2b+1)^{2}}{2b^{2}+1}+\frac{(2c+1)^{2}}{2c^{2}+1} \geqslant 3$

[QDV]

1. Cho a,b,c > 0 thỏa mãn ab+bc+ca=3abc

CMR: a²b + b²c + c²a + 3 $\geqslant$ 2(a+b+c)

$ab+bc+ca=3abc\Leftrightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=3$

$a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a+3=a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=a^{2}b+\frac{1}{b}+b^{2}c+\frac{1}{c}+c^{2}a+\frac{1}{a}\geq 2(a+b+c),"="\Leftrightarrow a=b=c$(BĐT Cauchy)

[huy2403exo]

$\frac{(2a+1)^2}{2a^2+1}=\frac{4a^2+4a+1}{2a^2+1}=2-\frac{1-4a}{2a^2+1}$ 

Tương tự :...

Nên cần chứng minh $\sum \frac{1-4a}{2a^2+1}\leq 3$ luôn đúng do :

$\sum \frac{1-4a}{2a^2+1}\leq\sum \frac{1-4a}{1}=3$

Dấu bằng khi $a=b=c=0$

[Cauchy11]

1,Cho các số thực không âm x,y,z đôi một khác nhau thỏa mãn: (x+y)(y+z)=1

CMR: $\frac{1}{(x-y)^{2}}+\frac{1}{(x+z)^{2}}+\frac{1}{(y+z)^{2}}\geqslant 4$

 

[Cauchy11]

cho n là số nguyên dương và kí hiệu Ư(n) = {d₁,d₂,...,d_m } là tập hợp tất cả các ước nguyên dương của n.

CMR: d₁² +d₂² +d₃² +...+ d_m² $\leq$ n²$\sqrt{n}$