Chủ đề này có 5 trả lời

[Hoang Long Le]

          SỞ GD&ĐT LONG AN                                                                 KỲ THI CHỌN HSG CẤP TỈNH LỚP 12

                                                                                                                      VÒNG 2 NĂM 2015

                                                                                                             Môn thi : TOÁN

                                                                                                             Ngày thi : 05/11/2015 ( Buổi thi thứ nhất )

                                                                                                                Thời gian: 180 phút, không kể thời gian giao đề

 

 Câu 1 (5,0 điểm)

          a) Giải bất phương trình $\sqrt{2x^2-4x+6}-\sqrt{2x-1}>x-2$

          b) Giải hệ phương trình :$\left\{\begin{matrix} 2y^3+y+2x\sqrt{1-x}-3\sqrt{1-x}=0\\ \sqrt{9-4y^2}=2x^2+6y^2-7 \end{matrix}\right.\ x,y\in \mathbb{R}$

 Câu 2 (5,0 điểm)

         Cho dãy số $(u_n)$ được xác đinh bởi $\left\{\begin{matrix}u_1=2\\u_2=3\\ u_n=nu_{n-1}-(n-2)u_{n-2}-2n+4,\ \forall n\geq 3 \end{matrix}\right.$

         a) Tìm số hạng tổng quát của dãy $(u_n)$

         b) Tìm số dư khi chia $u_{2016}$ cho 2015

 Câu 3 (5,0 điểm)

         Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho các điểm $A(1;1)\ ,\ B(2;5)\ ,\ C(4;7)$.

         Viết phương trình đường thẳng $d$ đi qua $A$ sao cho tổng khoảng cách từ $B$ và $C$ đến $d$ là lớn nhất

 Câu 4 (5,0 điểm)

Cho số nguyên dương $R$ và một bảng hình chữ nhật chia thành $20\times 15$ ô vuông. Những nước đi được thực hiện trên bảng như sau : ta chuyển từ một ô vuông này đến môt ô vuông kia khi khoảng cách giữa hai tâm của hai ô vuông đó bằng $\sqrt{R}$. Bài toán đặt ra là làm sao có thể tìm được một dãy các nước đi để chuyển từ ô này sang ô kia, mà hai ô đó nằm ở hai góc kề nhau của bảng, hai góc đó nằm trên cùn một chiều dài của bảng hình chữ nhật nói trên.

         a) Bài toán có giải quyết được không khi $R$ chia chết cho 2 hoặc cho 3? Tại sao ?

         b) Bài toán có giải quyết được không khi $R=73$ ? Tại sao ? Hãy tìm dãy các nước đi nếu bài toán giải được.

------------- HẾT --------------

 

 

          SỞ GD&ĐT LONG AN                                                                 KỲ THI CHỌN HSG CẤP TỈNH LỚP 12

                                                                                                                       VÒNG 2 NĂM 2015

                                                                                                             Môn thi : TOÁN

                                                                                                             Ngày thi : 06/11/2015 ( Buổi thi thứ hai )

                                                                                                                Thời gian: 180 phút, không kể thời gian giao đề

 

 Câu 5 (5,0 điểm)

Cho hai đa thức với hệ số thực $f(x)=7776x^5+ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$ và $g(x)=6x^2+11x+2015$. Biết rằng phương trình $f(x)=0$ có 5 nghiệm phân biệt và phương trình $f(g(x))=0$ không có nghiệm thực. Chứng minh rằng $\sqrt[10]{f(2015)}>\dfrac{11}{2}$          

 Câu 6 (5,0 điểm)

          Với mỗi số tự nhiên $k>0$, số $(2+\sqrt{5})^{2k}$ luôn viết được dưới dạng $a_k+b_k\sqrt{5}$ với $a_k,b_k$ là các số nguyên dương         

          a) Tìm hệ thức xác định dãy $(a_k),(b_k).$

          b) Chứng minh $20b_kb_{k+1}+16$ là số chính phương.

          c) Chứng minh $a_{k+2}^2-1$ chia hết cho 5.

 Câu 7 (5,0 điểm)

Cho tứ giác lồi $ABCD$ có hai đường chéo không vuông góc với nhau, nội tiếp đường tròn $(O)$. Gọi $E$ là điểm di chuyển trên cung $AB$ không chứa $C,D$. Gọi $M$ là giao điểm của $ED$ với $AC$, $N$ là giao điểm của $EC$ với $BD$. $(AEM)$ và $(BEN)$ cắt nhau tại giao điểm thứ hai $F$, Chứng minh rằng $EF$ luôn đi qua một điểm cố định. 

 

------------- HẾT --------------

 

   Nguồn : Facebook

[Issac Newton of Ngoc Tao]

      Câu 1 (5,0 điểm)

      b) Giải hệ phương trình :$\left\{\begin{matrix} 2y^3+y+2x\sqrt{1-x}-3\sqrt{1-x}=0\\ \sqrt{9-4y^2}=2x^2+6y^2-7 \end{matrix}\right.\ x,y\in 

Mình xin giải câu hệ phương trình:

$PT(1)\Leftrightarrow 2y^{3}+y=2(\sqrt{1-x})^{3}+\sqrt{1-x}\Leftrightarrow y=\sqrt{1-x}$

Bây giờ chỉ việc thế vào phương trình 2 là được

[Belphegor Varia]

                                            

Câu 7 : 

Gọi giao của tiếp tuyến tại $A$ của $(AEM)$ với tiếp tuyến tại $B$ của $(BEN)$ là $G$. Dễ chứng minh $AG,BG$ cố định. Ta chứng minh $EF$ đi qua $G$ cố định. 

Thật vậy , gọi giao của tiếp tuyến tại $A$ của $(AEM)$ với $EF$ là $G'$, giao của tiếp tuyến tại $B$ của $(BEN)$ với $EF$ là $G''$. 

Ta có : $\angle ABG''=\angle ABE + \angle G''BE=\angle BNE + \angle ABE=\angle ACB+\angle DBC$ 

           $\angle BAG'=\angle BAE+\angle G'AE=\angle BAE+\angle AME=\angle ACB+\angle DBC$

Suy ra $G\equiv G' \equiv G''$ $(Q.E.D)$

 

[Hoang Nhat Tuan]

                                            

Câu 7 : 

Gọi giao của tiếp tuyến tại $A$ của $(AEM)$ với tiếp tuyến tại $B$ của $(BEN)$ là $G$. Dễ chứng minh $AG,BG$ cố định. Ta chứng minh $EF$ đi qua $G$ cố định. 

Thật vậy , gọi giao của tiếp tuyến tại $A$ của $(AEM)$ với $EF$ là $G'$, giao của tiếp tuyến tại $B$ của $(BEN)$ với $EF$ là $G''$. 

Ta có : $\angle ABG''=\angle ABE + \angle G''BE=\angle BNE + \angle ABE=\angle ACB+\angle DBC$ 

           $\angle BAG'=\angle BAE+\angle G'AE=\angle BAE+\angle AME=\angle ACB+\angle DBC$

Suy ra $G\equiv G' \equiv G''$ $(Q.E.D)$

Cách của em, anh xem đúng không

Tiếp tuyến tại $A$ của $(AEM)$ cắt tiếp tuyến tại $B$ của $(BEN)$ tại $I$. Ta có: 

$\widehat{IAB}=\widehat{IAC}+\widehat{BAC}=\widehat{AED}+\widehat{BAC}$

$\widehat{IBA}=\widehat{ABD}+\widehat{DBI}=\widehat{ABD}+\widehat{BEC}=\widehat{IAB}$

Do đó tam giác $IAB$ cân tại $I$ và điểm $I$ cố định (vì tam giác $IAB$ cân và góc ở đáy không đổi) nên $IA^2=IB^2$.

Mà $IA^2=IB^2$ nên $I$ thuộc trục đẳng phương của 2 đường tròn, $EF$ là trục đẳng phương của 2 đường tròn nên $EF$ đi qua $I$

=> $Q.E.D$

Hình gửi kèm

• 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Nhat Tuan: 08-11-2015 - 10:33

[caovannct]

           Câu 2 (5,0 điểm)

         Cho dãy số $(u_n)$ được xác đinh bởi $\left\{\begin{matrix}u_1=2\\u_2=3\\ u_n=nu_{n-1}-(n-2)u_{n-2}-2n+4,\ \forall n\geq 3 \end{matrix}\right.$

         a) Tìm số hạng tổng quát của dãy $(u_n)$

         b) Tìm số dư khi chia $u_{2016}$ cho 2015

 

Góp bài dãy số:

từ giả thiết ta viết lại dãy số dạng:

$u_{n}-(n-1)u_{n-1}=u_{n-1}-(n-2)u_{_{n-2}}-2(n-2)$

từ đó suy ra $u_{n}-(n-1)u_{n-1}=u_{2}-u_{1}-2(1+2+...+n-2)$

vậy $u_{n}=(n-1)u_{n-1}-n^2+5n-5$

=> $u_{n}-(n-2)=(n-1)(u_{n-1}-(n-3))$

Đến đay thì có quy luật rồi ta tìm được  shtq

[quangvy79]

Câu 1a. $\sqrt{2x^{^{2}}-4x+6}=\sqrt{2((x-2)^{2}+2x-1)}$