Tìm n nguyên dương thỏa mãn: $n^3 | 3^n - 1$
$n^3 | 3^n - 1$
#1
Posted 10-11-2015 - 21:00
#2
Posted 21-11-2015 - 18:30
Tìm n nguyên dương thỏa mãn: $n^3 | 3^n-1$
Thấy $n=1$ là một nghiệm
Xét $n>1$. Dễ thấy $(n,3)=1$
Gọi $p$ là ước số nguyên tố nhỏ nhất của $n$ $(p\neq 3)$. Đặt $ord_p(3)=h$
Ta có $\left\{\begin{matrix} p|3^{p-1}-1 & & \\ p|3^n-1 & & \end{matrix}\right.\rightarrow \left\{\begin{matrix}h|p-1 & & \\ h|n & & \end{matrix}\right.\rightarrow h|(n,p-1)\rightarrow h|1\rightarrow h=1\rightarrow p|3-1\rightarrow p=2$
Đặt $n=2^x.d, (x\geq 1;(d,2)=1;(d,3)=1)$
Do $2^{3x}|3^{2^x.d}-1\rightarrow v_2(3^{2^x.d}-1)\geq 3x\rightarrow 3x\leq v_2(3^2-1)+v_2(2^x.d)-1=3+x-1=x+2$
$\rightarrow x\leq 1\rightarrow x=1$
$\rightarrow n=2d$. Giả sử $d>1$
Gọi $q$ là ước số nguyên tố nhỏ nhất của $d$ $(q \neq 2,3)$. Đặt $ord_q(3)=k$
Ta có $\left\{\begin{matrix}q|3^n-1 & & \\ q|3^{q-1}-1 & & \end{matrix}\right.\rightarrow \left\{\begin{matrix}k|2d & & \\ k|q-1 & & \end{matrix}\right.\rightarrow k|(2d,q-1)\rightarrow y|2 \rightarrow q|3^2-1\rightarrow q|8$ (vô lí vì $(q,2)=1$
$\rightarrow d=1 \rightarrow n=2$
Đáp số $n\in \left \{ 1,2 \right \}$
Edited by the man, 21-11-2015 - 18:32.
"God made the integers, all else is the work of man."
Leopold Kronecker
#3
Posted 21-11-2015 - 21:14
Thấy $n=1$ là một nghiệm
Xét $n>1$. Dễ thấy $(n,3)=1$
Gọi $p$ là ước số nguyên tố nhỏ nhất của $n$ $(p\neq 3)$. Đặt $ord_p(3)=h$
Ta có $\left\{\begin{matrix} p|3^{p-1}-1 & & \\ p|3^n-1 & & \end{matrix}\right.\rightarrow \left\{\begin{matrix}h|p-1 & & \\ h|n & & \end{matrix}\right.\rightarrow h|(n,p-1)\rightarrow h|1\rightarrow h=1\rightarrow p|3-1\rightarrow p=2$
Đặt $n=2^x.d, (x\geq 1;(d,2)=1;(d,3)=1)$
Do $2^{3x}|3^{2^x.d}-1\rightarrow v_2(3^{2^x.d}-1)\geq 3x\rightarrow 3x\leq v_2(3^2-1)+v_2(2^x.d)-1=3+x-1=x+2$
$\rightarrow x\leq 1\rightarrow x=1$
$\rightarrow n=2d$. Giả sử $d>1$
Gọi $q$ là ước số nguyên tố nhỏ nhất của $d$ $(q \neq 2,3)$. Đặt $ord_q(3)=k$
Ta có $\left\{\begin{matrix}q|3^n-1 & & \\ q|3^{q-1}-1 & & \end{matrix}\right.\rightarrow \left\{\begin{matrix}k|2d & & \\ k|q-1 & & \end{matrix}\right.\rightarrow k|(2d,q-1)\rightarrow y|2 \rightarrow q|3^2-1\rightarrow q|8$ (vô lí vì $(q,2)=1$
$\rightarrow d=1 \rightarrow n=2$
Đáp số $n\in \left \{ 1,2 \right \}$
Cảm ơn bạn
Có bài thay số 3 bằng số 2, nhưng chúng vẫn là số nguyên tố, và cách giải cx gần giống như trên
Vậy phải chăng có bài nào mà tổng quát ko bạn nhỉ?
Tìm số nguyên tố p và số tự nhiên n thỏa mãn : $n^p | p^n - 1$
#4
Posted 21-11-2015 - 21:28
Cảm ơn bạn
Có bài thay số 3 bằng số 2, nhưng chúng vẫn là số nguyên tố, và cách giải cx gần giống như trên
Vậy phải chăng có bài nào mà tổng quát ko bạn nhỉ?
Tìm số nguyên tố p và số tự nhiên n thỏa mãn : $n^p | p^n - 1$
mình cũng không có nhiều kinh nghiệm lắm đâu bạn
Theo mình thì những bài kiểu kiểu như thế này thì ta sẽ hay sử dụng kiến thức về LTE, cấp số, căn nguyên thủy, Fermat, vv ....
"God made the integers, all else is the work of man."
Leopold Kronecker
#5
Posted 22-11-2015 - 21:37
Thấy $n=1$ là một nghiệm
Xét $n>1$. Dễ thấy $(n,3)=1$
Gọi $p$ là ước số nguyên tố nhỏ nhất của $n$ $(p\neq 3)$. Đặt $ord_p(3)=h$
Ta có $\left\{\begin{matrix} p|3^{p-1}-1 & & \\ p|3^n-1 & & \end{matrix}\right.\rightarrow \left\{\begin{matrix}h|p-1 & & \\ h|n & & \end{matrix}\right.\rightarrow h|(n,p-1)\rightarrow h|1\rightarrow h=1\rightarrow p|3-1\rightarrow p=2$
Đặt $n=2^x.d, (x\geq 1;(d,2)=1;(d,3)=1)$
Do $2^{3x}|3^{2^x.d}-1\rightarrow v_2(3^{2^x.d}-1)\geq 3x\rightarrow 3x\leq v_2(3^2-1)+v_2(2^x.d)-1=3+x-1=x+2$
$\rightarrow x\leq 1\rightarrow x=1$
$\rightarrow n=2d$. Giả sử $d>1$
Gọi $q$ là ước số nguyên tố nhỏ nhất của $d$ $(q \neq 2,3)$. Đặt $ord_q(3)=k$
Ta có $\left\{\begin{matrix}q|3^n-1 & & \\ q|3^{q-1}-1 & & \end{matrix}\right.\rightarrow \left\{\begin{matrix}k|2d & & \\ k|q-1 & & \end{matrix}\right.\rightarrow k|(2d,q-1)\rightarrow y|2 \rightarrow q|3^2-1\rightarrow q|8$ (vô lí vì $(q,2)=1$
$\rightarrow d=1 \rightarrow n=2$
Đáp số $n\in \left \{ 1,2 \right \}$
Sao lại có đoạn này vậy cậu ?????
Edited by 30 minutes, 23-11-2015 - 18:48.
Nguyễn Thùy Dung
#6
Posted 23-11-2015 - 19:14
mình cũng không có nhiều kinh nghiệm lắm đâu bạn
Theo mình thì những bài kiểu kiểu như thế này thì ta sẽ hay sử dụng kiến thức về LTE, cấp số, căn nguyên thủy, Fermat, vv ....
dùng phéc ma hở bạn
Nguyễn Thùy Dung
#7
Posted 24-11-2015 - 21:34
Thấy $n=1$ là một nghiệm
Xét $n>1$. Dễ thấy $(n,3)=1$
Gọi $p$ là ước số nguyên tố nhỏ nhất của $n$ $(p\neq 3)$. Đặt $ord_p(3)=h$
Ta có $\left\{\begin{matrix} p|3^{p-1}-1 & & \\ p|3^n-1 & & \end{matrix}\right.\rightarrow \left\{\begin{matrix}h|p-1 & & \\ h|n & & \end{matrix}\right.\rightarrow h|(n,p-1)\rightarrow h|1\rightarrow h=1\rightarrow p|3-1\rightarrow p=2$
Đặt $n=2^x.d, (x\geq 1;(d,2)=1;(d,3)=1)$
Do $2^{3x}|3^{2^x.d}-1$, $\rightarrow v_2(3^{2^x.d}-1)\geq 3x\rightarrow 3x\leq v_2(3^2-1)+v_2(2^x.d)-1=3+x-1=x+2$
$\rightarrow x\leq 1\rightarrow x=1$
$\rightarrow n=2d$. Giả sử $d>1$
Gọi $q$ là ước số nguyên tố nhỏ nhất của $d$ $(q \neq 2,3)$. Đặt $ord_q(3)=k$
Ta có $\left\{\begin{matrix}q|3^n-1 & & \\ q|3^{q-1}-1 & & \end{matrix}\right.\rightarrow \left\{\begin{matrix}k|2d & & \\ k|q-1 & & \end{matrix}\right.\rightarrow k|(2d,q-1)\rightarrow y|2 \rightarrow q|3^2-1\rightarrow q|8$ (vô lí vì $(q,2)=1$
$\rightarrow d=1 \rightarrow n=2$
Đáp số $n\in \left \{ 1,2 \right \}$
Ừ nhỉ, chỗ này hình như có vấn đề rồi bạn, bạn thử thay d=5 , x=2 là thấy nó sai
Edited by Dung Du Duong, 24-11-2015 - 21:38.
#8
Posted 25-11-2015 - 00:50
Ừ nhỉ, chỗ này hình như có vấn đề rồi bạn, bạn thử thay d=5 , x=2 là thấy nó sai
Không thể thử như vậy vì ta điều kiện đề bài không thỏa mãn với mọi $x,d$
Vì $n^3|3^n-1$, mà $n=2^xd$ nên $2^{3x}|2^{3x}d^3|3^{2^xd}-1$
- Dung Du Duong likes this
1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users