Chủ đề này có 1 trả lời

[longatk08]

Cho $a,b,c$ không âm thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3$.Chứng minh rằng:

 

$$\frac{a}{ab+3}+\frac{b}{bc+3}+\frac{c}{ca+3}\leq \frac{3}{4}$$

[vuchidung2001]

Đây là lời giải của mình:

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:

 $\sum a-\sum \frac{3}{ab^2+3b}\leq \frac{3}{4}$

<=>$\sum \frac{3}{ab^2+3b}\geq \sum a-\frac{3}{4}$

 Mà theo 1 bất đẳng thức cơ bản :$(a+b+c)^2\leq 3(a^2+b^2+c^2)$(mà$a+b+c=3$)

                                                    <=>$a+b+c\leq 3$

                                                    <=>$a+b+c-\frac{3}{4}\leq \frac{9}{4}$

Bây giờ chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chứng minh được:

 $\sum \frac{3}{ab^2+3b}\geq \frac{9}{4}$ 

 <=> $\sum \frac{1}{ab^2+3b}\geq \frac{3}{4}$ (1)

 

 Áp dụng bất đẳng thức cơ bản:$\sum \frac{1}{a}\geq \frac{9}{\sum a}$

                                            <=> $\sum \frac{1}{ab^2+3b}\geq \frac{9}{\sum ab^2+3\sum a}$ (mà $a+b+c\leq 3$)

                                            <=>$\sum \frac{1}{ab^2+3b}\geq \frac{9}{\sum ab^2+9}$

 Vậy (1) đúng nếu ta chứng minh được:

 $\sum ab^2\leq 3$

 Thật vậy theo bất đẳng thức CBS ,có: $(\sum ab^2)^2\leq (\sum a^2)(\sum a^2b^2)$

  Và bất đẳng thức cơ bản: $(\sum a^2b^2)\leq\frac{ (\sum a^2)^2}{3}$

<=> $(\sum ab^2)^2\leq \frac{(\sum a^2)^3}{3}=9$ (do $\sum a^2= 3$)

<=> $\sum ab^2\leq 3$

<=>(1) đúng

<=>ĐPCM

 Đẳng thức xảy ra<=>$a=b=c=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vuchidung2001: 04-02-2016 - 17:19