Chủ đề này có 6 trả lời

[RealCielo]

2,Cho a,b,c >0 CMR 

$\sqrt{\frac{a^{2}+2b^{2}}{a^{2}+ab+bc}}+\sqrt{\frac{b^{2}+2c^{2}}{b^{2}+bc+ca}}+\sqrt{\frac{c^{2}+2a^{2}}{c^{2}+ca+ab}}\geq 3$

[haichau0401]

2,Cho a,b,c >0 CMR 

$\sqrt{\frac{a^{2}+2b^{2}}{a^{2}+ab+bc}}+\sqrt{\frac{b^{2}+2c^{2}}{b^{2}+bc+ca}}+\sqrt{\frac{c^{2}+2a^{2}}{c^{2}+ca+ab}}\geq 3$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz : $(b^2+a^2+b^2)(b^2+c^2+c^2) \geq (b^2+ca+bc)^2$ (1)

Tương tự: $(c^2+b^2+c^2)(c^2+a^2+a^2) \geq (c^2+ab+ca)^2 $ (2)

                   $(a^2+c^2+a^2)(a^2+b^2+b^2) \geq (a^2+bc+ab)^2$ (3)

Nhân (1) (2) (3) vế theo vế ta được bất đẳng thức: $(a^2+2b^2)(b^2+2c^2)(c^2+2a^2)\geq(a^2+ab+bc)(b^2+bc+ca)(c^2+ca+ab)$

Ta lại có:

Áp dụng bất đẳng thức Cô-Si:

$VT \geq 3\sqrt[6]{\frac{(a^2+2b^2)(b^2+2c^2)(c^2+2a^2)}{(a^2+ab+bc)(b^2+bc+ca)(c^2+ca+ab)}} \geq 1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi haichau0401: 13-11-2015 - 11:40

[royal1534]

 

2,Cho a,b,c >0 CMR 

$\sqrt{\frac{a^{2}+2b^{2}}{a^{2}+ab+bc}}+\sqrt{\frac{b^{2}+2c^{2}}{b^{2}+bc+ca}}+\sqrt{\frac{c^{2}+2a^{2}}{c^{2}+ca+ab}}\geq 3$

 

 

Áp dụng bđt AM-GM ta có:

 $VT \geq 3\sqrt[6]{\frac{(a^{2}+2b^{2})(b^{2}+2c^{2})(c^{2}+2a^{2})}{(a^{2}+ab+bc)(b^{2}+bc+ca)(c^{2}+ca+ab)}}$

Vậy ta cần chứng minh $(a^{2}+2b^{2})(b^{2}+2c^{2})(c^{2}+2a^{2}) \geq (a^{2}+ab+bc)(b^{2}+bc+ca)(c^{2}+ca+ab)$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy Swarchz ta có 

$(a^{2}+b^{2}+b^{2})(a^{2}+a^{2}+c^{2}) \geq (a^{2}+ba+bc)^{2}$

Tương tự $(b^{2}+2c^{2})(c^{2}+2a^{2}) \geq (c^{2}+ca+ab)^{2}$

               $(a^{2}+2b^{2})(b^{2}+2c^{2}) \geq (b^{2}+bc+ca)^{2}$ 

Nhân 2 vế của các bđt lại ta có:

$[(a^{2}+2b^{2})(b^{2}+2c^{2})(c^{2}+2a^{2})]^{2} \geq [(a^{2}+ab+bc)(b^{2}+bc+ca)(c^{2}+ca+ab)]^{2}$

$<=>(a^{2}+2b^{2})(b^{2}+2c^{2})(c^{2}+2a^{2}) \geq (a^{2}+ab+bc)(b^{2}+bc+ca)(c^{2}+ca+ab)$

Vậy ta có đpcm.Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi royal1534: 13-11-2015 - 11:42

[Element hero Neos]

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz : $(b^2+a^2+b^2)(b^2+c^2+c^2) \geq (b^2+ca+bc)^2$ (1)

Tương tự: $(c^2+b^2+c^2)(c^2+a^2+a^2) \geq (c^2+ab+ca)^2 $ (2)

                   $(a^2+c^2+a^2)(a^2+b^2+b^2) \geq (a^2+bc+ab)^2$ (3)

Nhân (1) (2) (3) vế theo vế ta được bất đẳng thức: $(a^2+2b^2)(b^2+2c^2)(c^2+2a^2)\geq(a^2+ab+bc)(b^2+bc+ca)(c^2+ca+ab)$

Ta lại có:

Áp dụng bất đẳng thức Cô-Si:

$VT \geq 3\sqrt[6]{\frac{(a^2+2b^2)(b^2+2c^2)(c^2+2a^2)}{(a^2+ab+bc)(b^2+bc+ca)(c^2+ca+ab)}} \geq 1$

bạn giải thích thật kĩ chỗ cuối thật không?

[haichau0401]

bạn giải thích thật kĩ chỗ cuối thật không?

Đoạn cuối mình dùng bất đẳng thức AM-MG đấy bạn, bạn nhìn kĩ từng bước từ trên xuống là hiểu ngay mà... tuy hơi rắc rối một chút

[Element hero Neos]

Đoạn cuối mình dùng bất đẳng thức AM-MG đấy bạn, bạn nhìn kĩ từng bước từ trên xuống là hiểu ngay mà... tuy hơi rắc rối một chút

mình biết là AM-GM, nhưng tại sao biểu thức ấy lại lớn hơn 1?

[haichau0401]

mình biết là AM-GM, nhưng tại sao biểu thức ấy lại lớn hơn 1?

Bạn đọc kĩ đoạn:

Nhân (1) (2) (3) vế theo vế ta được bất đẳng thức: $(a^2+2b^2)(b^2+2c^2)(c^2+2a^2)\geq(a^2+ab+bc)(b^2+bc+ca)(c^2+ca+ab)$

Đến đây thì rõ chưa bạn