Hạ sĩ
Bài 1. CMR: $\frac{a}{a^2+2b+2c+1}+\frac{b}{b^2+2c+2a+1}+\frac{c}{c^2+2a+2b+1}\leq \frac{1}{2}$
Bài 2. cho $(a + b)(b + c)(c + a) = 1$ chưng minh rằng $ab + bc + ca \leq \frac{3}{4}$
Bài 3 $\frac{\sqrt{bc}}{a+2\sqrt{bc}}+\frac{\sqrt{ca}}{b+2\sqrt{ca}}+\frac{\sqrt{ab}}{c+2\sqrt{ab}}\leq 1$
Bài 4 $\sqrt{a\sqrt{bc}}+\sqrt{b\sqrt{ac}}+\sqrt{c\sqrt{ab}}\leq a+b+c$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Quoc Tuan Qbdh: 15-11-2015 - 22:11
Binh nhất
Bài 3 $\frac{\sqrt{bc}}{a+2\sqrt{bc}}+\frac{\sqrt{ca}}{b+2\sqrt{ca}}+\frac{\sqrt{ab}}{c+2\sqrt{ab}}\leq 1$
Bài toán trở thành $\sum \frac{2\sqrt{bc}}{a+2\sqrt{bc}}\leq 2$
$\sum \frac{a}{a+2\sqrt{bc}}\geq 1$
Mà ta có $\frac{a}{a+2\sqrt{bc}}\geq \frac{a}{a+b+c}$
Từ đây ta thu được điều cần chứng minh
Thượng sĩ
Bài 1. CMR: $\frac{a}{a^2+2b+2c+1}+\frac{b}{b^2+2c+2a+1}+\frac{c}{c^2+2a+2b+1}\leq \frac{1}{2}$
$\sum \frac{a}{a^2+2b+2c+1}\leq \sum \frac{a}{2a+2b+2c}= \frac{1}{2}\sum \frac{a}{a+b+c}=\frac{1}{2}$
Thành công là khả năng đi từ thất bại này đến thất bại khác mà không mất đi nhiệt huyết
Nhiều người ước mơ được thành công. Thành công chỉ có thể đạt được qua thất bại và sự nội quan liên tục. Thật ra, thành công thể hiện 1% công việc ta làm – kết quả có được từ 99% cái gọi là thất bại.
Điều bạn gặt hái được bằng việc đạt được mục tiêu không quan trọng bằng con người bạn trở thành khi đạt được mục tiêu.
Binh nhất
Bài 4 $\sqrt{a\sqrt{bc}}+\sqrt{b\sqrt{ac}}+\sqrt{c\sqrt{ab}}\leq a+b+c$
Ta có $\sqrt{a\sqrt{bc}}+\sqrt{b\sqrt{ca}}+\sqrt{c\sqrt{ab}}\leq\sum \sqrt{a\frac{(b+c)}{2}}$
Mà $(\sqrt{a\frac{b+c}{2}})^{2}\leq 3(a\frac{b+c}{2}+b\frac{c+a}{2}+c\frac{a+b}{2})\leq 3(ab+bc+ca)\leq (a+b+c)^{2}$
Lấy căn 2 vế thu được điều phải chứng minh
Thượng úy
Bài 1. CMR: $\frac{a}{a^2+2b+2c+1}+\frac{b}{b^2+2c+2a+1}+\frac{c}{c^2+2a+2b+1}\leq \frac{1}{2}$
Bài 2. cho (a + b)(b + c)(c + a) = 1 chưng minh rằng ab + bc + ca <= 3/4
Bài 3 $\frac{\sqrt{bc}}{a+2\sqrt{bc}}+\frac{\sqrt{ca}}{b+2\sqrt{ca}}+\frac{\sqrt{ab}}{c+2\sqrt{ab}}\leq 1$
Bài 4 $\sqrt{a\sqrt{bc}}+\sqrt{b\sqrt{ac}}+\sqrt{c\sqrt{ab}}\leq a+b+c$
Tất cả các bài này đều có điều kiện là $a,b,c>0$ phải không bạn 
3.$\Leftrightarrow VT=\sum \frac{1}{\frac{a}{\sqrt{bc}}+2}\leq 1$
Đặt $\frac{a}{\sqrt{bc}}=x;\frac{b}{\sqrt{ac}}=y;\frac{c}{\sqrt{ab}}=z\Rightarrow x,y,z>0;xyz=1$
$\Rightarrow \sum \frac{1}{x+2}\leq 1\Leftrightarrow (y+2)(z+2)+(x+2)(z+2)+(y+2)(x+2)\leq (y+2)(z+2)(x+2)\Leftrightarrow xy+yz+zx+4(x+y+z)+12\leq xyz+2(xy+yz+zx)+4(x+y+z)+8\Leftrightarrow xy+yz+zx+1\geq 4\Leftrightarrow xy+yz+zx\geq 3(AM-GM)$
Dấu ''='' xảy ra khi $x=y=z=1$ hay $a=b=c$
4. Áp dụng AM-GM và Bunhiacopxki ta có
$\sqrt{a\sqrt{bc}}+\sqrt{b\sqrt{ac}}+\sqrt{c\sqrt{ab}}\leq \sum \sqrt{a(\frac{b+c}{2})}=\sum \sqrt{\frac{ab+ac}{2}}\leq \sqrt{3.2(\frac{ab+bc+ca}{2})}=\sqrt{3(ab+bc+ca)}\leq a+b+c$ (đpcm)
Dấu ''='' xảy ra khi $a=b=c$
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
Community Forum Software by IP.Board
Licensed to: Diễn đàn Toán học
