Chủ đề này có 1 trả lời

[dangthanhbn]

Cho $0\leq a< b\leq c$. Tìm max của:

P = $\frac{2a^{2}+b^{2}+c^{2}}{(a^2+b^2)(a^2+c^2)}+\frac{a+b+c}{(a+b)c}+2\sqrt{a+b+c}$

[Love Inequalities]

Mình sửa lại đề thành tìm GTNN nhé bạn!

$P=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{c^2+a^2}+\frac{1}{a+b}+\frac{1}{c}+2\sqrt{a+b+c}$

$\geq \frac{1}{\left ( b+\frac{a}{2} \right )^2}+\frac{1}{\left ( c+\frac{a}{2} \right )^2}+\frac{4}{a+b+c}+2\sqrt{a+b+c}$

$\geq \frac{8}{\left ( a+b+c \right )^2}+\frac{4}{a+b+c}+2\sqrt{a+b+c}$

Đặt $t=\sqrt{a+b+c}$ với $t>0$ . Xét $f\left ( t \right )=\frac{8}{t^4}+\frac{4}{t^2}+2t$

$$f'\left ( t \right )=-\frac{32}{t^5}-\frac{8}{t^3}+2=\frac{2\left ( t-2 \right )\left ( t^4+2t^3+4t^2+4t+8 \right )}{t^5}$$

$$f'\left ( t \right )=0\Leftrightarrow t=2$$

Khảo sát hàm số ta được $P\geq f\left ( t \right )\geq f\left ( 2 \right )=\frac{11}{2}$

Dấu "=" xảy ra khi $a=0, b=c=2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Love Inequalities: 18-11-2015 - 13:12