Chủ đề này có 3 trả lời

[nghia_metal]

Cho $x,y,z \geq 0$ và $x+y+z=1$. Chứng minh $x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x\leq\frac{4}{27}$

[phamngochung9a]

Cho $x,y,z \geq 0$ và $x+y+z=1$. Chứng minh $x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x\leq\frac{4}{27}$

Giả sử $x=max\left \{ x,y,z \right \}$

$1)$ Nếu $x\geq y\geq z$ thì:

$(x-y)(y-z)\geq 0\Rightarrow xz+y^{2}\leq xy+yz\Rightarrow xz^{2}+y^{2}z\leq xyz+yz^{2}\Rightarrow x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x\leq y(x^{2}+xz+z^{2})= y\left [ (x+z)^{2}-xz \right ]\leq y(x+z)^{2}=\frac{1}{2}.2y.(x+z)(x+z)\leq \frac{1}{2}.\left ( 2(x+y+z) \right )^{3}/27=\frac{4}{27}$

$2)$ Nếu $x\geq z\geq y$, chứng minh tương tự $1)$

[Nguyen Minh Hai]

Cho $x,y,z \geq 0$ và $x+y+z=1$. Chứng minh $x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x\leq\frac{4}{27}$

Gọi $(a,b,c)$ là hoán vị của $(x,y,z)$ sao cho $a \geqslant b \geqslant c$.

Khi đó theo BĐT Hoán vị ta có : 

$x^2y+y^2z+z^2x=x.xy+y.yz+z.zx \leqslant a.ab+b.ac+c.bc$

                          $ = b(a^2+ac+c^2)$

                          $\leqslant \frac{1}{2}.2b(a+c)^2$

                          $\leqslant \frac{1}{2}.\left ( \frac{2a+2b+2c}{3} \right )^3 = \frac{4}{27}$

Xảy ra đẳng thức khi $a=b=c=\frac{1}{3}$

[/spoiler] Em Hải 10 Toán 1 đây thầy ! Phải thầy Nghĩa ko ạ ? :3 [spoiler]

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Minh Hai: 20-11-2015 - 19:28

[Hoang Long Le]

Cho $x,y,z \geq 0$ và $x+y+z=1$. Chứng minh $x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x\leq\frac{4}{27}$

 Ta chứng minh một BĐT mạnh hơn là $x^2y+y^2z+z^2x+xyz\leq \dfrac{4}{27}$

 Giả sử $y$ nằm giữa $x$ và $z$ thì $(y-x)(y-z)\leq 0\Rightarrow z(y-x)(y-z)\leq 0\Leftrightarrow y^2z+z^2x\leq xyz+yz^2$

 Nên ta chỉ cần chứng minh $y(x+z)^2\leq \dfrac{4}{27}$

 Đúng theo AM-GM $y(x+z)^2=\dfrac{1}{2}.2y(x+z)(x+z)\leq \dfrac{4(x+y+z)^3}{27}=\dfrac{4}{27}$

 Dấu bằng xảy ra khi $(a,b,c)\in \left \{ \left ( \dfrac{2}{3},\dfrac{1}{3},0\right );\left ( 0,\dfrac{2}{3},\dfrac{1}{3}\right );\left ( \dfrac{1}{3},0,\dfrac{2}{3}\right )\right \}$