Kí hiệu $P(a,b,c) = a^4+b^4+c^4+3(ab+bc+ca)$.
Dễ thấy chỉ cần xét $a,b,c\ge 0$. Giả sử $a=\max(a,b,c)$ và đặt $s=\sqrt{\frac{b^2+c^2}{2}},p=bc$. Ta sẽ chứng minh $P(a,b,c) \le P(a,s,s)$. Và như thế, để ý rằng $a^2+s^2+s^2=3$, ta đã đưa bài toán về trường hợp có hai số bằng nhau.
Viết lại biểu thức theo $s$ và $p$:
$$P(a,b,c) = 4s^4 -2p^2 + 3p +3a\sqrt{2s^2+2p}$$
Xem đây là một hàm theo $p$, kí hiệu $f(p)$. Tính đạo hàm
$$f'(p) = -4p+3+\frac{3a}{\sqrt{2s^2+2p}}$$
Bởi vì $0\le p\le s \le 1 \le a$ nên dễ thấy $$f'(p) \ge -4+3+\frac{3}{\sqrt{2+2}} = \frac{1}{2} > 0,$$ nên $f(p)$ đồng biến trên $[0,s]$ và do đó $f(p) \le f(s) = P(a,s,s)$. Như vậy ta đã chứng minh xong điều ở trên, nghĩa là chỉ cần xét bài toán khi có hai số bằng nhau (cụ thể hơn nữa là trong trường hợp $a\ge 1 \ge b=c$, như vậy khi lập bảng biến thiên đỡ xét toàn bộ miền xác định).
Bài toán bây giờ trở thành một biến, tính đạo hàm và lập bảng biến thiên ta dễ dàng tìm được max khi $a=b=c=1$ hoặc $a=2b=2c=\sqrt{2}$.