Chủ đề này có 2 trả lời

[Juliel]

Cho các số thực $x,y>1$. Tìm giá trị nhỏ nhất :

$$P=\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{1}{y-1}+\dfrac{4}{x^2+y^2}+5\sqrt{x+y}$$

[vuliem1987]

HDG : 4P = $\frac{3}{x-1}+\frac{3}{y-1}+$$\frac{1}{x-1}+\frac{1}{y-1}$+$\frac{16}{x^{^2{}}+y^{^{2}}}+20\sqrt{x+y}$ $

\geq \frac{12}{x+y-2} + \frac{y^{^2{}}}{xy^2-y^{^{2}}{}} + \frac{x^{2}}{yx^{2}-x^{^{2}}} + \frac{16}{x^{^{2}}+y^{2}} + 20\sqrt{x+y}$$

\geq \frac{12}{x+y-2} + \frac{\left ( x+y+4 \right )^{2}}{xy(x+y)} + 20\sqrt{x+y} \geq \frac{12}{x+y-2} + \frac{4\left ( x+y+4 \right )^{2}}{\left ( x+y \right )^{3}} + 20\sqrt{x+y}$

đặt t = x + y và áp dụng BĐT AM-GM và chứng minh trực tiếp BĐT trong ngoặc ta có

4P $\frac{4}{t}+\frac{64}{t^{^{3}}}+\frac{16}{t^{2}}+\frac{16}{t^{2}}+16\left ( \frac{\sqrt{t}}{2} \right ) + $\left ( \frac{12}{t-2} +12\sqrt{t}\right )$ 

$20 + 30=50$

Vậy P $\geq$ 12,5 . Dấu bằng xảy ra khi x = y = 2.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vuliem1987: 22-11-2015 - 22:10

[vuliem1987]

HDG : 4P = $\frac{3}{x-1}+\frac{3}{y-1}+$$\frac{1}{x-1}+\frac{1}{y-1}$+$\frac{16}{x^{^2{}}+y^{^{2}}}+20\sqrt{x+y}

$ $\geq \frac{12}{x+y-2} + \frac{y^{^2{}}}{xy^2-y^{^{2}}{}} + \frac{x^{2}}{yx^{2}-x^{^{2}}} + \frac{16}{x^{^{2}}+y^{2}} + 20\sqrt{x+y}

$$\geq \frac{12}{x+y-2} + \frac{\left ( x+y+4 \right )^{2}}{xy(x+y)} + 20\sqrt{x+y} \geq \frac{12}{x+y-2} + \frac{4\left ( x+y+4 \right )^{2}}{\left ( x+y \right )^{3}} + 20\sqrt{x+y}$

đặt t = x + y và áp dụng BĐT AM-GM và chứng minh trực tiếp BĐT trong ngoặc ta có

4P $\frac{4}{t}+\frac{64}{t^{^{3}}}+\frac{16}{t^{2}}+\frac{16}{t^{2}}+16\left ( \frac{\sqrt{t}}{2} \right ) + $\left ( \frac{12}{t-2} +12\sqrt{t}\right )$ 

$20 + 30=50$

Vậy P $\geq$ 12,5 . Dấu bằng xảy ra khi x = y = 2.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vuliem1987: 22-11-2015 - 22:35