2 replies to this topic

[tpdtthltvp]

Tìm nghiệm nguyên dương của PT: $\sum \frac{x}{2x+y+z}=\frac{3}{4}$

[Quoc Tuan Qbdh]

Tìm nghiệm nguyên dương của PT: $\sum \frac{x}{2x+y+z}=\frac{3}{4}$

Áp dụng BĐT $C-S$ ta có :

$\frac{1}{x}+\frac{9}{x+y+z} \geq \frac{16}{2x+y+z}$

Suy ra : $\sum \frac{x}{2x+y+z} \leq \frac{1}{16}(\sum \frac{x}{x} + \sum \frac{9x}{x+y+z} )=\frac{3}{4}$

Vậy phương trình tương đương $\frac{x+y+z}{3}=x=y=z$ Hay $x=y=z$

Edited by Quoc Tuan Qbdh, 23-11-2015 - 13:19.

[royal1534]

Áp dụng bđt AM-GM dạng $\frac{4}{x+y} \leq \frac{1}{x}+\frac{1}{y}$ ta có:

$\sum \frac{x}{2x+y+z}=\sum \frac{x}{(x+y)+(x+z)} \leq \frac{1}{4}.(\sum \frac{x}{x+y}+\sum \frac{y}{y+x})=\frac{3}{4}$

Dấu '=' xảy ra khi $x=y=z$

P/s:Nghiệm nguyên làm gì :v

Edited by royal1534, 23-11-2015 - 13:19.