Chủ đề này có 1 trả lời

[santo3vong]

Cho a,b,c>0 thoả điều kiện $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{3}{2}\left( a+b+c \right)=\frac{15}{2}$ . Chứng minh : ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\le 3$ 

[tcqang]

Đặt t = a + b + c, ta có $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{9}{a+b+c}=\frac{9}{t}$. Từ giả thiết ta được:

$\frac{15}{2}\geq \frac{9}{t}+\frac{3}{2t}\Leftrightarrow t^2-5t+6\leq0\Leftrightarrow 2\leqslant t\leqslant 3$ nên 0 < a,b,c<3

Mặt khác: $\frac{1}{a}+\frac{3}{2a}\geq \frac{1}{4}a^2+\frac{9}{4}\Leftrightarrow (a-1)^2(a-4)\leqslant 0$ (Đúng).

Tương tự cho b và c.

Cộng 3 BĐT này lại ta có đpcm.