Chủ đề này có 1 trả lời

[Kira Tatsuya]

Cho $x\geq y\geq z\geq 0$. Chứng minh:

$\frac{x^2y}{z}+\frac{y^2z}{x}+\frac{z^2x}{y}\geq x^2+y^2+z^2$

[huykinhcan99]

Áp dụng bất đẳng thức $Cauchy$ cho hai bộ ba số $\left(\sqrt{\dfrac{x^2y}{z}},\sqrt{\dfrac{y^2z}{x}},\sqrt{\dfrac{z^2x}{y}}\right)$ và $\left(\sqrt{\dfrac{xy^2}{z}},\sqrt{\dfrac{yz^2}{x}},\sqrt{\dfrac{zx^2}{y}}\right)$ ta có:

\[\left(\dfrac{x^2y}{z}+\dfrac{y^2z}{x}+\dfrac{z^2x}{y}\right)\left(\dfrac{zx^2}{y}+\dfrac{xy^2}{z}+\dfrac{yz^2}{x}\right)\geqslant \left(x^2+y^2+z^2\right)^2 \]

 

Mặt khác vì $x\geqslant y\geqslant z\geqslant 0$ nên

\[\left(\dfrac{x^2y}{z}+\dfrac{y^2z}{x}+\dfrac{z^2x}{y}\right)-\left(\dfrac{zx^2}{y}+\dfrac{xy^2}{z}+\dfrac{yz^2}{x}\right)=\dfrac{\left(xy+yz+zx\right)\left(x-y\right)\left(x-z\right)\left(y-z\right)}{xyz}\geqslant 0\]

 

Từ đó

\[\left(\dfrac{x^2y}{z}+\dfrac{y^2z}{x}+\dfrac{z^2x}{y}\right)^2\geqslant \left(\dfrac{x^2y}{z}+\dfrac{y^2z}{x}+\dfrac{z^2x}{y}\right)\left(\dfrac{zx^2}{y}+\dfrac{xy^2}{z}+\dfrac{yz^2}{x}\right)\geqslant \left(x^2+y^2+z^2\right)^2 \]

 

Hay ta có

\[\dfrac{x^2y}{z}+\dfrac{y^2z}{x}+\dfrac{z^2x}{y}\geqslant x^2+y^2+z^2\]

 

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z$