Cho $\left\{\begin{matrix}x+y+z=xyz & & \\ x,y,z>1 & & \end{matrix}\right.$
Tìm GTNN của : $A=\frac{x-2}{z^{2}}+\frac{y-2}{x^{2}}+\frac{z-2}{y^{2}}$
p/s:Khuyến khích sự bình luận , sáng tạo !
Đặt $(\frac{1}{x},\frac{1}{y},\frac{1}{z})\rightarrow (a,b,c)$ thì $a,b,c>0$ và $ab+bc+ca=1$
Khi đó $P=\frac{c^2(1-2a)}{a}+\frac{a^2(1-2b)}{b}+\frac{b^2(1-2c)}{c}$
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta được: $\frac{c^2(1-a)}{a}+a(1-a)\geqslant 2c(1-a)$
$\frac{a^2(1-b)}{b}+b(1-b)\geqslant 2a(1-b)$
$\frac{b^2(1-c)}{c}+c(1-c)\geqslant 2b(1-c)$
Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên, ta được: $(\frac{c^2(1-a)}{a}-c^2)+(\frac{a^2(1-b)}{b}-a^2)+(\frac{b^2(1-c)}{c}-b^2)\geqslant a+b+c-2(ab+bc+ca)\geqslant \sqrt{3(ab+bc+ca)}-2(ab+bc+ca)=\sqrt{3}-2$
hay $\frac{c^2(1-2a)}{a}+\frac{a^2(1-2b)}{b}+\frac{b^2(1-2c)}{c}\geqslant \sqrt{3}-2$
Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=\sqrt{3}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 08-05-2021 - 19:48
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$