Chủ đề này có 1 trả lời

[marcoreus101]

Cho 2013 điểm phân biệt $A_{1},A_{2},...,A_{2013}$ thuộc đường tròn tâm O bán kính bằng 1.Chứng minh rằng tồn tại 1 điểm trên đường tròn sao cho tổng khoảng cách từ điểm đó đến tất cả các điểm trên $>2013$

[1110004]

Giả sử không tìm được điểm thỏa ycbt. Vậy ta sẽ lấy ngẫu nhiên $1$ điểm  $M$ (không trùng lên $2013$ điểm đã cho mắc công phiền phiền phức ấy mà!) trên đường tròn tất nhiên khi đó tổng khoảng cách từ điểm đó đến $2013$ điểm đã cho sẽ nhỏ hơn hoặc bằng $2013$. (ta ký hiệu $d_1,d_2,...,d_{2013}$ là khoảng cách từ $M$ đến $2013$ điểm đã cho)

 

Gọi $M'$ là điểm đối xứng với $M$ qua tâm của đường tròn. Khi đó khoảng cách từ $M'$ đến $2013$ điểm đã cho là:

 

$$\sqrt{4-d_{1}^{2}}+\sqrt{4-d_{2}^{2}}+...\sqrt{4-d_{2013}^{2}}$$

 

Vì $\sqrt{4-d_{1}^{2}}> 2-d_{1};\sqrt{4-d_{2}^{2}}> 2-d_{2};....;\sqrt{4-d_{2013}^{2}}> 2-d_{2013}$ nên tổng khoảng cách từ $M'$ đến $2013$ điểm đã cho sẽ:

 

$$TKC>2.2013-2013=2013$$  (vô lý quá đi)

 

Vậy ta được điều phải chứng minh!