Chủ đề này có 1 trả lời

[taideptrai]

Cho số n nguyên dương cho trước, chứng minh rằng 

đa thức $f(x)=1+\prod_{i=1}^{n}(x^{2}+i^{2})$ không thể

phân tích thành 2 đa thức hệ số nguyên có bậc lớn hơn hoặc bằng 1 

[An Infinitesimal]

Cho số n nguyên dương cho trước, chứng minh rằng 

đa thức $f(x)=1+\prod_{i=1}^{n}(x^{2}+i^{2})$ không thể

phân tích thành 2 đa thức hệ số nguyên có bậc lớn hơn hoặc bằng 1 

 

 

Giả sử  tồn tại $h(x),\, g(x)\in \mathbb{Z}[x]$  là các đa thức có khác hằng sao cho

$f(x)=g(x)h(x)$.

Khi đó 

$g(ki).h(ki)=f(k i)=1,$trong đó $i$ là số phức đơn vị, đúng với mọi $k= \overline{1, n}.$ 

 

Suy ra $\left(g(ki)\right)^2 =\left( h(ki)\right)^2=\pm 1 \forall k= \overline{1, n}.$

 

Suy ra $k(x)=(h(x))^2-(g(x))^2$ là đa thức có bậc bé hơn $2n$ nhưng có $2n$ nghiệm phức.