Chủ đề này có 2 trả lời

[NTA1907]

Cho $x, y, z> 0$ thoả mãn $x+y+z=xyz$. CMR:

$\dfrac{1+\sqrt{1+x^{2}}}{x}+\dfrac{1+\sqrt{1+y^{2}}}{y}+\dfrac{1+\sqrt{1+z^{2}}}{z}\leq xyz$

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NTA1907: 05-12-2015 - 12:27

[cyndaquil]

Cho $x, y, z> 0$ thoả mãn $x+y+z=xyz$. CMR:

$\dfrac{1+\sqrt{1+x^{2}}}{x}+\dfrac{1+\sqrt{1+y^{2}}}{y}+\dfrac{1+\sqrt{1+z^{2}}}{z}\leq xyz$

Dễ dàng c/m: $(x+y+z)^2 \ge 3(xy+yz+zx) \forall x,y,z$

$\Rightarrow \frac{xy+yz+zx}{x+y+z} \le \frac{x+y+z}{3}\Rightarrow \frac{xy+yz+zx}{xyz} \le \frac{x+y+z}{3}\Rightarrow \sum\frac1x \le \frac{x+y+z}{3}$

Ta có 

$ VT=\sum \frac1 x+\sum \frac{\sqrt{1+x^2}}{x} $

$\le \frac{x+y+z}3+\sum \frac{\sqrt{2}. \frac{\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{2}}}{x} \overset{Côsi}{\le} \frac{x+y+z}3+\sum\frac{2+\frac{x^2+1}{2}}{2x} $

$=\frac{x+y+z}3+\sum\frac{x^2+5}{4x}=\frac{x+y+z}3+\sum\frac{x}{4}+\frac54( \sum\frac{1}{x})$

$\le  \frac{x+y+z}3+\frac{x+y+z}4+\frac{5}{4}.\frac{x+y+z}3=x+y+z=xyz=VP$

Dấu $"="$ xảy ra khi $x=y=z=\sqrt3$

[KietLW9]

Cho $x, y, z> 0$ thoả mãn $x+y+z=xyz$. CMR:

$\dfrac{1+\sqrt{1+x^{2}}}{x}+\dfrac{1+\sqrt{1+y^{2}}}{y}+\dfrac{1+\sqrt{1+z^{2}}}{z}\leq xyz$

Ta có: $x+y+z=xyz\Rightarrow x=\frac{x+y+z}{yz}\Rightarrow x^2=\frac{x^2+xy+xz}{yz}\Rightarrow x^2+1=\frac{x^2+xy+yz+zx}{yz}=\frac{(x+y)(x+z)}{yz}$

$\Rightarrow \frac{1+\sqrt{1+x^2}}{x}=\frac{1+\sqrt{\frac{(x+y)(x+z)}{yz}}}{x}\leq \frac{1+\frac{\frac{x+y}{y}+\frac{x+z}{z}}{2}}{x}=\frac{2+\frac{1}{2}(\frac{x}{y}+\frac{x}{z})}{x}=\frac{2}{x}+\frac{1}{2}(\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$

Tương tự đối với các bất đẳng thức còn lại rồi cộng lại, ta được: $VT\leq 3(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})=3.\frac{xy+yz+zx}{xyz}\leq \frac{(x+y+z)^2}{xyz}=xyz(q.e.d)$

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=\sqrt{3}$