Chủ đề này có 4 trả lời

[huythang299]

Cho ab+bc+ca=1

Chứng minh

$\frac{1}{a^{2}+1}+\frac{1}{b^{2}+1}+\frac{1}{c^{2}+1}\geq \frac{3}{2}$

$\frac{a}{\sqrt{a^{2}+8}}+\frac{b}{\sqrt{b^{2}+8}}+\frac{c}{\sqrt{c^{2}+8}}\geq 1$

[Element hero Neos]

Cho ab+bc+ca=1

Chứng minh

$\frac{1}{a^{2}+1}+\frac{1}{b^{2}+1}+\frac{1}{c^{2}+1}\geq \frac{3}{2}$

$\frac{a}{\sqrt{a^{2}+8}}+\frac{b}{\sqrt{b^{2}+8}}+\frac{c}{\sqrt{c^{2}+8}}\geq 1$

đề bài sai rồi(chỗ màu xanh), phải là $ab+bc+ca=3$ mới đúng

Ta có: $\sum (\frac{1}{a^{2}+1}+\frac{a^{2}+1}{4})\geq 1 (AM-GM) \Rightarrow \sum (\frac{1}{a^{2}+1})\geq 3-\sum (\frac{a^{2}+1}{4})$

Khi đó, ta cần chứng minh $\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}+3}{4}\geqslant \frac{3}{2}$

Thật vậy: $a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+bc+ca=3\Rightarrow \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}+3}{4}\geqslant \frac{3}{2}$

Vậy ta cps đpcm

[chaubee2001]

đề bài sai rồi(chỗ màu xanh), phải là $ab+bc+ca=3$ mới đúng

Ta có: $\sum (\frac{1}{a^{2}+1}+\frac{a^{2}+1}{4})\geq 1 (AM-GM) \Rightarrow \sum (\frac{1}{a^{2}+1})\geq 3-\sum (\frac{a^{2}+1}{4})$

Khi đó, ta cần chứng minh $\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}+3}{4}\geqslant \frac{3}{2}$

Thật vậy: $a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+bc+ca=3\Rightarrow \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}+3}{4}\geqslant \frac{3}{2}$

Vậy ta cps đpcm

Chỗ đỏ của bạn sai rồi kìa. Ta cần c/m là $\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}+3}{4}\leq \frac{3}{2}$ chứ.

Bài này mình làm lại cho:

Ta có:

$\frac{1}{a^2+1}=1-\frac{a^2}{1+a^2} \geq 1-\frac{a^2}{2a}=1-\frac{a}{2}$( Cô-si )

Tương tự, $\frac{1}{b^2+1}\geq 1-\frac{b}{2}$,$\frac{1}{c^2+1}\geq 1-\frac{c}{2}$.

Suy ra $\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{a^2+1} \geq 3-\frac{a+b+c}{2}(1)$

Lại có $(a+b+c)^2 \geq 3(ab+bc+ca)\Rightarrow a+b+c \geq 3(2)$

Từ (1)(2) suy ra đpcm...

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chaubee2001: 06-12-2015 - 15:33

[Element hero Neos]

Chỗ đỏ của bạn sai rồi kìa. Ta cần c/m là $\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}+3}{4}\leq \frac{3}{2}$ chứ.

Bài này mình làm lại cho:

Ta có:

$\frac{1}{a^2+1}=1-\frac{a^2}{1+a^2} \geq 1-\frac{a^2}{2a}=1-\frac{a}{2}$( Cô-si )

Tương tự, $\frac{1}{b^2+1}\geq 1-\frac{b}{2}$,$\frac{1}{c^2+1}\geq 1-\frac{c}{2}$.

Suy ra $\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{a^2+1} \geq 3-\frac{a+b+c}{2}(1)$

Lại có $(a+b+c)^2 \geq 3(ab+bc+ca)\Rightarrow a+b+c \geq 3(2)$

Từ (1)(2) suy ra đpcm...

Chỗ màu xanh của bạn sai rồi, đề bài có cho a,b,c khác 0 đâu mà bạn chia được như vậy!

[royal1534]

đề bài sai rồi(chỗ màu xanh), phải là $ab+bc+ca=3$ mới đúng

Ta có: $\sum (\frac{1}{a^{2}+1}+\frac{a^{2}+1}{4})\geq 1 (AM-GM) \Rightarrow \sum (\frac{1}{a^{2}+1})\geq 3-\sum (\frac{a^{2}+1}{4})$

Khi đó, ta cần chứng minh $\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}+3}{4}\geqslant \frac{3}{2}$

Thật vậy: $a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+bc+ca=3\Rightarrow \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}+3}{4}\geqslant \frac{3}{2}$

Vậy ta cps đpcm

 

 

Chỗ đỏ của bạn sai rồi kìa. Ta cần c/m là $\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}+3}{4}\leq \frac{3}{2}$ chứ.

Bài này mình làm lại cho:

Ta có:

$\frac{1}{a^2+1}=1-\frac{a^2}{1+a^2} \geq 1-\frac{a^2}{2a}=1-\frac{a}{2}$( Cô-si )

Tương tự, $\frac{1}{b^2+1}\geq 1-\frac{b}{2}$,$\frac{1}{c^2+1}\geq 1-\frac{c}{2}$.

Suy ra $\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{a^2+1} \geq 3-\frac{a+b+c}{2}(1)$

Lại có $(a+b+c)^2 \geq 3(ab+bc+ca)\Rightarrow a+b+c \geq 3(2)$

Từ (1)(2) suy ra đpcm...

SAI HẾT RỒI  ! 

Lời Giải: (ab+bc+ca=3 nhé bạn )

   Sau khi quy đồng và thu gọn ta có:                                     

BĐT cần chứng minh

   $\leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}+3 \geq a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}+3a^{2}b^{2}c^{2}$

Áp dụng bđt AM-GM ta có:$(a+b+c)(ab+bc+ca) \geq 9abc$

                    $\leftrightarrow 3(a+b+c) \geq 9abc$

                    $\leftrightarrow a+b+c \geq 3abc$

Ta cần chứng minh:

$a^{2}+b^{2}+c^{2}+3 \geq a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}+abc(a+b+c)$

$\leftrightarrow 3(a^{2}+b^{2}+c^{2})+9 \geq 3(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})+3abc(a+b+c)$

$\leftrightarrow (ab+bc+ca)(a^{2}+b^{2}+c^{2})+(ab+bc+ca)^{2} \geq 3(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})+3abc(a+b+c)$

Sau khi thu gọn ta cần chứng minh:

$ab(a^{2}+b^{2})+bc(b^{2}+c^{2})+ca(a^{2}+c^{2}) \geq 2(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})$

$\leftrightarrow ab(a-b)^{2}+bc(b-c)^{2}+ca(a-c)^{2} \geq 0$(Đúng)

Dấu '=' xảy ra khi $(a,b,c)=(1,1,1)$ hoặc $(0,\sqrt{3},\sqrt{3})$ Và các hoán vị

 

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi royal1534: 06-12-2015 - 17:18